مقاله ریاضیدانان مسلمان

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله ریاضیدانان مسلمان دارای 15 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله ریاضیدانان مسلمان  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله ریاضیدانان مسلمان،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله ریاضیدانان مسلمان :

ریاضیدانان مسلمان

ابوالوفا محمد بن یحیی بن اسماعیل بوزجانی

یكی از مفاخر علمی ایران و از بزرگترین ریاضیدانان و منجمان دوره اسلامی است در روز چهارشنبه اول ماه رمضان 328 هجری قمری در شهر بوزجان(تربت جام فعلی) چشم به جهان گشود. وی از همان سنین كودكی به خاطر هوش سرشار، تیز بینی و كنجكاویش مورد توجه خانواده و اقوامش قرار گرفت ابوالوفا علم هندسه و عدد را نزد عموی خود ابوعمر و مغازلی و دایی خود ابوعبدالله محمد بن عنبسه فرا گرفت.

دورانی كه ابوالوفا در آن می زیست شرایط مناسبی برای رشد او فراهم شد. استفاده از محضر استادان، كتابها و مراكز علمی گوناگون، امكان پر گشودن ذهن را برای او فراهم ساخت وی در دوران حكومت سلسله آل بویه زندگی می كرد

. ابوالوفا در سن 20 سالگی به عراق مهاجرت كرد وتا پایان عمر در بغداد زندگی كرد. او به یاری همكارانش در رصد خانه بغداد به رصد پرداخت او یكی از مشهورترین منجمان زمان خود بوده است. وی گاهی در كارهای علمی با شخص معاصر خود ابوریحان بیرونی به وسیله مكاتبه شریك مساعی داشته است. او سنت گذشتگان را مبنی بر تلفیق كار علمی همراه با نگارش شرحهایی بر آثار قدما ادامه داد و شرح هایی بر آثار كسانی چون اقلیدس و دیونانتوس نوشت.

بوزجانی روشهای محاسبه ای را كه كارمندان و بارزگانان در كشورهای شرق اسلامی در كارهای روزانه انجام می دادند آنها را به صورت منظم و مدون در آورد.

از كارهای جالب دیگر بوزجانی، حل یك مساله جالب است كه در آن از قضیه فیثاغورث استفاده نشده است. تقسیم یك مربع به تعداد معلومی از مربع های كوچك تر یا تشكیل یك مربع بزرگ با تعداد معینی از مربع های كوچك به وسیله پهلو به پهلو قرارر دادن آنها از كارهای دیگری است كه او انجام داده است.
بوزجانی در مجالس علمی زیادی شركت داشت كه حتی عمر خیام هم در آثار خود از مسائل ریاضی مختلفی یاد می كند كه دانشمندانی مانند: ابوسهل كوهی، ابوالوفای بوزجانی و ابو حامد صاغانی در دربار عضد الدوله سخت به آن مشغول بوده اند.

تا كنون در غرب پژوهش های فراوانی درباره آثار بوزجانی انجام شده است. جنجال برانگیز ترین پژوهش مربوط به«سدیو» ریاضی دان و ستاره شناس فرانسوی است. او در این پژوهش ادعا می كند كه بوزجانی 9 قرن پیش از«تیكو براهه» منجم دانماركی در اختلاف سوم حركت ماه را كشف كرده است» از جمله آثار وی در زمینه ریاضی می توان از:
1- كتاب اعمال هندسی 2- مجسطی 3- كتاب حساب 4- رساله در تركیب اعدادالوفق در مربعات 5- جواب نامه بوزجانی به ابوعلی حبوبی در باره محاسبه مساحت مثلث بدون به كاربردن ارتفاع آن 6- المدخل آلی صناعه الاثحاطیقی

7- رساله فی النسبه و التعریفات 8- رساله فی جمع اضلاع المربعات و المكعبات
به طور كلی مهمترین آثاری وی شامل: كتاب فی یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسیه و كتاب المجسطی یا كتاب الكامل است
سرانجام ابوالوفا بوزجانی در سال 388 هجری قمری در بغداد چشم از جهان فرو بست.

ابن سینا
شیخ الرئیس حجه الحق ابوعلی حسین بن عبدالله حسین بن علی بن سینا مشهور به ابن سینا كه در سال 370 هجری قمری در افشنه نزدیك بخارا متولد شده و در آنجا به كسب علم پرداخت. از تحصیلات مقدماتی از حمله ادبیات، قرآن، فقه و حساب را نزد پدر آموخت و برای فراگرفتن منطق و هندسه و نجوم نزد ابوعبدالله ناتلی رفت. او از همان كودكی بسیار خارق العاده بود و دانش زمان خود را به سرعت فراگرفت.

ابن سینا تا چهارده سالگی پیش تمام استادان بخارا رفت و هرچه آنها می دانستند، فراگرفت. در دوره پادشاهی نوح بن منصور، هفتمین امیر سامانی، بوعلی شانزده سال داشت كه پدر و مادرش یكی پس از دیگری با فاصله كمی از دنیا رفته بودند

بوعلی درس طب را نزد ابومنصور نوح قمری می خواند. او در سن شانزده سالگی به طبابت پرداخت. وی پس از درمان كردن نوح بن منصور سامانی به دربار او راه یافت. شهرت طبابت ابن سینا در شهر پیچید و مریض هایی كه از معالجه نا امید می شدند نزد او می آمدند و شفا می یافتند و این شهرت روز افزون سبب شد تا آوازه او به گوش سلطان محمود نیز برسد. مامور او را دعوت كرد تا به غزنین برود، اما ابن سینا به دلیل خشونت و تعصب دینی سلطان محمود دعوت او را رد كرد و از خوارزم فرار كرد. در آن زمان به او لقب بوعلی سینا دادند به علت زنده نگه داشتن نام پدر بزرگ (علی) و نام جدش (سینا).

ابن سینا پس از فرار از خوارزم مدتی را در تركستان و خراسان به سر برد و سپس وارد گرگان شد و در آنجا به طبابت پرداخت. سپس به ری رفت و در آنجا مجدالدوله دیلمی را كه به بیماری مالیخولیا مبتلا شده بود، درمان كرد. او در همدان مقام وزارت شمس الدوله را به دست آورد و از حمایت علاالدوله كاكویه برخوردار گشت.

در مدت نه سالی كه ابن سینا در گنگانج به سر می برد كتابهای زیادی نوشت از جمله رساله ای در مورد فن موسیقی، قصیده ای در منطق، رساله ای درباره نبض كتابی مربوط به فلسفه و رساله ای درباره افسردگی و علل آن. در این مدت ابوریحان بیرونی هم در دربار خوارزم بود. ابن سینا و بیرونی مباحثات زیادی با هم داشتند.

سرانجام ابوعلی سینا در همدان در سال 428 هجری قمری در گذشت. از جمله معرفترین آثار او می توان به دانش نامه علایی كه به زبان فارسی است و همچنین مهم ترین اثر فلسفی او به نام شفا كه شامل چهار بخش (منطقی، طبیعیات، ریاضیات و مابعد الطبیعه) است را نام برد. این اثر و كتاب بعدی به نام قانون كه دایره المعارف طبی است هر دو به زبان عربی می باشند. از جمله كتاب هایی كه در مورد علم ریاضیات نوشته است كتاب «رساله الی ابوسمل المسیحی فی الزاویه» است. به طور كلی ابن سینا از دانشمندان علوم ریاضی، هندسه، نجوم، منطق، فلسفه و طب بود و وی از جمله دانشمندانی بود كه هم در زمان خودش و هم سال ها و قرن ها پس از مرگش مورد احترام همه مردم و حكما بوده است. از جمله امام خمینی (ره) كه در مورد ابن سینا در شرح حدیث از امام محمد باقر(ع) به عنوان رئیس فلاسفه اسلام یاد می كند و نیز در كتاب چهل حدیث خود در شرح حدیثی از امام جعفر صادق(ع) از وی به عنوان امام فن و فیلسوف بزرگ اسلام نام برده اند.

خوارزمی
ابو جعفر محمد بن موسی خوارزمی یكی از دانشمندان بزرگ ایرانی، منجم، ریاضی دان و جغرافیدان در سال 185 هجری قمری در نزدیكی بغداد پا به عرضه وجود نهاد.
او بزرگترین عالم زمان و عصر خویش است و اجدادش اهل خوارزم بودند اما به احتمال زیاد خودش از اهالی قطر بولی منطقه ای نزدیك بغداد بود.
او در زمینه زیاضیات و نجوم مهارت بسزایی داشت. وی در این ریاضی دان دوره اسلامی است كه آثارش به دست ما رسیده است. وی در زمان خلافت مامون عضو دارالحكمه بود كه گروهی از دانشمندان بغداد به سرپرستی مامون قرار داشتند و مورد توجه خلیفه وقت بود. او كتاب جبر و مقابله خود را كه درباره ریاضیات مقدماتی است و اولین و اولین كتاب جبر است كه به عربی نوشته شده آن را به مامون تقدیم كرد.

كتابهای او در زمینه جبر، حساب، نجوم كه به زبان عربی نوشته شد هم در كشورهای اسلامی و هم در كشورهای اروپایی تاثیر بسزایی داشت.
كتابهای دیگر اوكه درباره ارقام هنری است بعد از آن كه در قرن دوازدهم به زبان لاتینی منتشر شد تاثیر خاص بر روی اروپائیان گذارد و نام خوارزمی مترادف با هر كتابی كه درباره حساب جدید بود فراگرفت و از همین جا اصطلاح جدید الگوریتم به فضای قاعده محاسبه رواج یافت.
از جمله كتابهای دیگر او و در زمینه ریاضی می توان مختصر من حساب الجبر و القابله، كتاب الجمع و التفریق و زیج را نام برد. وی سال 233 هجری قمری درگذشت.

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله آشنایی با ماتریسها

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله آشنایی با ماتریسها دارای 27 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله آشنایی با ماتریسها  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله آشنایی با ماتریسها،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله آشنایی با ماتریسها :

آشنایی با ماتریسها
مقدمه: در تاریع آمده است كه اولین بار یك ریاضیدان انگلیسی تبار به نام كیلی ماتریس را در ریاضیات وارد كرد. با توجه به آنكه در آن زمان ریاضیدانان اغلب به دنبال مسائل كاربردی بودند، كسی توجهی به آن نكرد. اما بعدها ریاضیدانان دنباله ی كار را گرفتند تا به امروز رسید كه بدون اغراق می توان گفت در هر علمی به گونه ای با ماتریس ها سروكار دارند. یكی از نقش های اصلی ماتریس ها آن است كه آنها ابزار اساسی محاسبات عملی ریاضیات امروز هستند، درست همان نقشی كه سابقاً اعداد بر عهده داشتند.

از این نظر می توان گفت نقش امروز ماتریس ها همانند نقش دیروز اعداد است. البته، ماتریس ها به معنایی اعداد و بردارها را در بر دارند، بنابراین می توان آنها را تعمیمی از اعداد و بردارها در نظر گرفت. در ریاضیات كاربردی ماتریس ها از ابزار روز مره هستند، زیرا ماتریس ها با حل دستگاه معادلات خطی ارتباط تنگاتنگی دارند

و برای حل ریاضی مسائل عملی، مناسبترین تكنیك، فرمول بندی مسئله و یا تقریب زدن جوابهای مسئله با دستگاه معادلات خطی است كه در نتیجه ماتریس ها وارد كار می شوند. اما، مشكلی اصلی در ریاضیات كابردی این است كه ماتریس های ایجاد شده، بسیار بزرگ هستند و مسئله اصلی در آنجا كار كردن با ماتریس های بزرگ است. از جنبه نظری، فیزیك امروزی كه فیزیك كوانتوم است

، بدون ماتریس ها نمی توانست به وجود آید. هایزنبرگ – اولین كسی كه در فیزیك مفاهیم ماتریس ها را به كار برد- اعلام كرد «تنها ابزار ریاضی كه من در مكانیك كوانتوم به آن احتیاج دارم ماتریس است.» بسیاری از جبرها مانند جبر اعداد مختلط و جبر بردارها را با ماتریس ها بسیار ساده می توان بیان كرد. بنابراین با مطالعه ماتریسها، در واقع یكی از مفیدترین و در عین حال جالبترین مباحث ریاضی مورد بررسی قرار می گیرد.

تعریف ماتریس: اگر بخواهیم مانند كیلی، ماتریس را تعریف كنیم، باید گفت هر جدول مستطیلی كه دارای تعداد سطر و ستون است و در هر خانه آن یك عدد وجود دارد یك ماتریس است. به عبارت دیگر هر آرایشی از اعداد مانند مثالهای زیر را ماتریس می گویند.
اگر ماتـریس را A بنامیـم، در این صورت ماتـریس ] 15و10 و 1-[ را سطـر اول و ] 19و7 و5[ را سطر دوم و ، ، را به ترتیب ستون اول، ستون دوم، ستون سوم A گویند. ماتریس A را كه دارای دو سطر و ستون است یك ماتریس دو در سه (2و3) می گویند. اصطلاحاً می گوییم A از مرتبه 2 در 3 است. (نوشته می شود 3×2). بنابراین ماتریس ] 7و5 و12[ B= یك ماتریس 4×1 و ماتریس C یك ماتریس 3×3 است.

به اعداد یا اشیاء واقع در جدول ماتریس درایه های آن ماتریس می گویند. درایه های هر ماتریس در جا ومكان مشخصی قرار دارند. مثلاً در ماتریس درایه 3 در سطر اول و ستون اول است. همچنین درایه سطر دوم، ستون سوم عدد 6 است. به طور كلی اگر درایه های سطر I ام ستون jام را با aij نشان دهیم؛ داریم
… و 5=12a 2=22a 3=11a

به طور كلی یك ماتریس دلخواه 3×2 را بصورت زیر نمایش می دهیم:
اغلب برای سهولت، به جای نمایش ماتریس به صورت فوق، آن را با نماد 3*2[aij]نشان می دهند كه در آن aij را درایه یا عنصر عمومی ماتریس 3*2[aij] گویند. به طور كلی برای ساختن انواعی از ماتریس های دیگر می توانیم به جای آن كه درایه های ماتریس را از اعداد حقیقی انتخاب كنیم، درایه ها را از اعداد مختلط عناصر یك میدان، توابع و یاحتی ماتریس ها انتخاب كنیم.

در حالت كلی یك ماتریس m*n بصورت A=[aij]m*n عبارت است از:

ماتریس های مربع: اگر در یك ماتریس تعداد سطرها و ستون ها مساوی باشد، آن را ماتریس مربع گویند. در این حالت اگر یك ماتریس مانند A دارای مرتبه ی n*n باشد، گوییم A یك ماتریس مربع مرتبه n است. مجموعه ماتریس های مربع مرتبه ی n را با یا نشان می دهند.
درایه های 11a و 22a و… و aمقاله آشنایی با ماتریسها یك ماتریس مربع مرتبه n باشد، مجموع درایه های قطر اصلی A را اثر ماتریس A می نامند و با نماد tr(A) نشان می دهند

. بنابراین:
در واقع اثر ماتریس، تابعی از مجموعه ماتریسهای مربع در مجموعه اعداد حقیقی است، یعنی
مثال: اگر درایه های قطر اصلی A عبارتند از 4- و 6- بنابراین
2=6+4-tr(A)

ماتریس سطری: ماتریس هایی را كه فقط یك سطر دارند ماتریس سطری یا بردار سطری می نامند. مثلاً ماتریس ی ماتریس سطری *n1 است.
ماتریس ستونی: ماتریسی است كه فقط دارای یك ستون باشد. هر ماتریس ستونی را بردار ستونی نیز می گویند. مثلاً ماتریس زیر یك ماتریس ستونی 1×m است.
ماتریس صفر: ماتریسی است كه همه درایه هایش صفر باشد. بنابراین ماتریس ماتریس صفر است. هرگاه:
ماتریس صفر از مرتبه m*n را با نماد Qm*n نشان می دهند.
مثال:
اگر مرتبه ماتریس صفر، داده شده باشد و یا از طریق متن، مرتبه آن معلوم باشد، در اینصورت برای سهولت ماتریس صفر را با و یا حتی با O نشان می دهند.
تساوی ماتریس ها: هرگاه در ریاضیات اشیا جدیدی معرفی شوند، باید مشخص شوند كه چه وقت دوتای آنها با هم مساویند. مثلاً در مجموعه اعداد گویا دو عدد دو سوم و چهار ششم را، علیرغم اینكه یك شكل نیستند، مساوی می نامند. در مورد اعدادگ ویا، دو عدد را مساوی می گویند. هر گاه ad=bc تساوی ماتریسها نیز به صورت زیر تعریف می شود.

تعریف: دو ماتریس و مساویند هرگاه هم مرتبه باشند و درایه های نظیر در دو ماتریس (یعنی درایه های هم موضع) مساوی باشند. به عبارت دیگر، دو ماتریس و مساویند هر گاه داشته باشیم:
مثال: و تساوی A و B به این معناست كه
جمع ماتریس ها: مجموع دو ماتریس و ماتریسی است كه با نماد A+B نشان می دهیم و به صورت زیر تعریفق می شود.
توجه كنید كه برای جمع دو ماتریس می بایست دو ماتریس هم مرتبه باشند. بنا به تعریف اگر A+B+C=[Cij] در اینصورت
برای این كه تعریف فوق روشن تر شود، شكل گسترده آن را در حالت ماتریس های 2×2 در زیر می آوریم

تذكر: با توجه به تعریف، جمع دو ماتریس A+B وقتی تعریف شده كه A و B هم مرتبه باشند. در این صورت A و B را ماتریس های قابل جمع می گویند.
تعبیر عمل جمع دو ماتریس به مثابه یك ماشین: عمل جمع را می توان به منزله ماشینی تصور كرد كه دارای دو ورودی و یك خروجی است (مطابق شكل)، به طوری كه اگر دوماتریس مثلا2×2 به آن بدهیم از خروجی آن یك ماتریس 2×2 بیرون می اید.
قرینه یك ماتریس: اگر A یك ماتریس m*n باشد، قرینه A ماتریسی است از همان مرتبه كه با نماد –A نشان می دهند و اگر در این صورت بنا به تعریف
مثال: قرینه ماتریس عبارت است از و ملاحظه می شود كه
خواص جمع ماتریس ها

الف) جمع ماتریسها خاصیت شركت پذیری دراد
اثبات: فرض كنید و و سه ماتریس هم مرتبه دلخواه باشند، نشان می دهیم
(A+B)+C=A+(B+C)
قبل از اثبات لازم است معنی عبارات (A+B)+C و A+(B+C) را بدانیم. در این مورد از تعبیر عمل جمع به مثابه عمل یك ماشین كمك می گیریم. از آنجا كه ماشین جمع دو ورودی دارد نمی توان یكباره سه ماتریس را با هم جمع كرد، از این رو برای جمع سه ماتریس A و B و C می توان ابتدا A و B را به ماشین داده و A+B را به دست آورد. سپس A+B و C را به ماشین می دهیم تا (A+B)+Cبه دست آید.

عبارت A+(B+C) به این معناست كه نخست B و C را وارد ماشین كرده ایم و B+C را به دست آورده ایم و سپس (B+C)+A را بیرون می دهد.
حال می خواهیم نشان دهیم كه در هر صورت ماتریس های بدست آمده مساویند برای این كار قرار می دهیم
درایه سطر I ام ماتریس =D+C درایه سطر I ام ستون j ام ماتریس (A+B)+C
ب) ماتریس صفر عضو بی اثر مجموعه ماتریس ها نسبت به عمل جمع است.
اثبات: فرض كنید یك ماتریس دلخواه باشد، نشان می دهیم.

كه در آن ماتریس صفر هم مرتبه با A است.
اثبات مشابه اثبات فوق است.
ج) هر ماتریس نسبت به عمل جمع دارای متقابل است.
دیدیم كه قریبنه هر ماتریس A=[aij]، ماتریسی هم مرتبه با آن به صورت –A[-aij] است. در واقع –A متقابل A نسبت به عمل جمع است، زیرا قبلاً نشان دادیم
كه در آن ماتریس صفر هم مرتبه با A است.
د) جمع ماتریس ها دارای خاصیت جابه جایی است.
یعنی اگر A و B دو ماتریس دلخواه هم مرتبه باشند، داریم A+B=B+A

اثبات:
تعریف ماتریس ها: فرض كنید A و B دو ماتریس هم مرتبه باشند، A-B به صورت زیر تعریف می شود
A-B=A+(-B)
از تعریف فوق نتیجه می گیریم برای اینكه با ماشین جمع، A-B را به دست آوریم، نخست ماشینی با یك ورودی و یك خروجی می سازیم تا هر ماتریسی به آن دهیم آن ماتریس را قرینه كند. حال با دادن ماتریس B به این ماشین، -B از آن خارج می شود.
سپس، A و –B را به ماشین جمع می دهیم تا A+(-B) یعنی A-B را بیرون دهد.

مقایسه خواص جمع ماتریس ها با خواص جمع اعداد حقیقی:
اگر به خواص ماتریس ها توجه كنیم ملاحظه می كنیم كه این خواص همانند خواص جمع اعداد حقیقی است، حال می خواهیم ببینیم كدامیكی از خواص دیگر مجموعه اعداد حقیقی با عمل جمع در مجموعه ماتریس ها با عمل جمع برقرار است. می دانیم برای حل معادله a+x=b در مجموعه اعداد حقیقی باید به طریقی a را از طرف اول معادله حذف كرد. بنابراین، طرفین معادله را با –a جمع می كنیم، در اینصورت:
(-a)+ (a+x)=-a+b
با استفاده از خاصیت جابجایی و شركت پذیری جمع داریم:
(-a+a) +x=b-a)
در نتیجه +x=b-a0 یعنی x=b-a0 این شیوه را می توان برای حل معادله A+X=B در مجموعه ی ماتریس ها نیز به كار برد و گزاره زیر را به دست آورد.
گزاره: اگر A و B دو ماتریس هم مرتبه باشند، در این صورت معادله A+X=B دارای جواب منحصر به فرد X=A-B است.
یكی دیگر از خواص مجموعه اعداد حقیق با عمل جمع، قانون حذف است. یعنی اگر a+x=a+y در این صورت می توان نتیجه گرفت x=y این خاصیت نیز در مورد ماتریس ها با عمل جمع وجود دارد.

قانون حذف در جمع ماتریس ها برقرار است
اثبات: روش اول، فرض كنید A و B و C سه ماتریس هم مرتبه باشند، نشان می دهیم
A+B=A+C B=C
طرفین تساوی A+B=A+C را با –A جمع می كنیم با توجه با خاصیت شركت پذیری و خاصیت ماتریس صفر نتیجه می شود B=C
روش دوم: چون A+B=A+C پس
درایه iام ستون jام =A+C درایه سطر iام ستون jام A+B

تذكر: برای اثبات قانون حرف دو روش مختلف ارائه دادیم. در روش اول، از خواص جمع ماتریسها یعنی شركت پذیری، عضو بی اثر و… استفاده كردیم، یعنی همان روشی كه برای اعداد حقیقی می توان به كار برد. اما در روش دوم ویژگی های ماتریس نقش اصلی را ایفا می كند. در واقع در مورد روش اول برای ما مهم نیست A و B و C ماتریس هستند یا عدد حقیقی و یا هر چیز دیگر، در مورد هر دسته ای از اشیا كه دارای خواص جمع ماتریس ها باشند، می توانیم این شیوه را به كار ببریم و این همان رسالت جبر مدرن است كه با اصل موضوعی كردن، قضایای مشابه را به یكباره ثابت می كند. زیرا شیوه و روش اثبات قضیه در هر جایی كه این اصول صدق می كنند، معتبر است.

ضرب یك عدد (اسكالر) در ماتریس
تعریف: فرض كنید ماتریسی از مرتبه m*n و r یك عدد حقیقی باشد. از ضرب عدد حقیقی r در A ماتریسی به دست می آید كه آن را به صورت rA نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می شود.
بنابراین (درایه سطر iام ستون jام ماتریس =r.(A درایه سطر iام ستون j ام ماتریس (rA)
مثال: اگر در این صورت

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله توزیع‎های احتمالی گسسته

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله توزیع‎های احتمالی گسسته دارای 25 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله توزیع‎های احتمالی گسسته  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله توزیع‎های احتمالی گسسته،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله توزیع‎های احتمالی گسسته :

توزیع‎های احتمالی گسسته

مقدمه

در حالی كه اغلب تعیین توزیع احتمالی برای یك متغیر تصادفی معین مفید است، بسیاری مواقع در استنباط آماری و تصمیم‎گیری توابع احتمالی متغیرها دارای یك فرم هستند. در چنین مواردی استفاده از نظریه توابع احتمالی شرح داده شده در فصل پنجم برای به دست آوردن نتایج كلی در مورد توزیع احتمالی مثل میانگین و واریانس بهتر است از به دست آوردن این مشخصه‎ها در هر حالت ویژه. زیراكسل كننده خواهد بود كه در هر مورد جدید با استفاده از توزیع احتمالی یا چگالی، فرایند تعیین مشخصه‎ها مثل میانگین و واریانس را انجام دهیم. خوشبختانه به اندازه كافی همانندی بین انواع معین از آزمایشهای منحصر به فرد معلوم وجود دارد، به طوری كه به دست آوردن یك فرمول كه نشان دهنده ویژگی عمومی این آزمایش‎ها باشد را ممكن می‎سازد.

در این فصل بعضی از توزیع‎های احتمالی متغیرهای تصادفی گسسته مثل توزیع‎های دو جمله‎ای، فوق هندسی و پواسن را مطالعه خواهیم نمود و خواص آنها را بررسی می‎كنیم این توزیع‎ها از مهمترین توزیع‎های گسسته در آمار هستند كه كاربرد زیادی دارند. توزیع‎های احتمالی متغیرهای پیوسته با تأكید بر توزیع نرمال كه كاملاً شناخته شده است و در آمار استفاده زیادی از آن می‎شود در فصل هفتم بحث خواهد شد.

آزمایش دو جمله‎ای
بسیاری از آزمایشگاه هستند كه دارای یك ویژگی عمومی بوده و آن عبارت است از اینكه نتایج آنها به یكی از دو پیشامد دسته‎بندی می‎شوند. برای مثال، «آزمایش دسته بندی یك متقاضی شغل كه مرد یا زن است» دارای دو نتیجه می‎‏باشد، آزمایش پرتاب یك سكه كه نتیجه آن پیشامد شیرآمدن و خط آمدن می‎باشد. تولد یك نوزاد كه نتیجه آن پسر و یا دختر می‎باشد. آزمایش انتخاب یك كالای تولیدی كه نتیجه آن تنها به یكی از دو صورت سالم و یا ناقص اتفاق می‎افتد.

در حقیقت این امكان همیشه وجود دارد كه نتایج رخدادهایی كه در زندگی روزمره اتفاق می‎افتد را به صورت دو نتیجه «موفقیت» و یا «عدم موفقیت» شرح دهیم. امتحانهایی كه تنها منتج به دو نتیجه می‎شوند، نقش بسیار مهمی در یكی از توزیع‎های احتمالی گسسته كه كاربرد زیادی در عمل دارد یعنی «توزیع دو جمله‎ای» ایفا می‎كنند.

قبل از این كه توزیع دو جمله‎ای را معرفی كنیم، آزمایش دو جمله‎ای را شرح می‎دهیم با توجه به مثالهای بالا و مثالهایی مثل مصاحبه با یك رأی دهنده كه جواب آن موافق كاندیدای مورد نظر است و یا نیست. پرتاب موشك كه نتیجه آن به هدف خوردن و یا به هدف نخوردن است، ملاحظه می‎شود كه صرف نظر از بعضی از تفاوتها همه آنها دارای یك مشخصه ویژه آزمایش دو جمله‎ای می‎باشند.

تعریف:
یك آزمایش دو جمله‎ای دارای فرضیات زیر است.
1-آزمایش دو جمله‎ای مركب از n امتحان یكسان ساده است.
2-هر امتحان منتج به یكی از دو نتیجه می‎شود. یك نتیجه را موفقیت و با S نشان داده و نتیجه دیگر را عدم موفقیت و با F نشان می‎دهیم.
3-احتمال موفقیت در یك امتحان ساده مساوی P است، كه از یك امتحان به امتحان دیگر ثابت باقی می‎ماند احتمال عدم موفقیت مساوی q=1-P است.
4-امتحان‎ها از هم مستقل می‎باشند.

5-علاقمند به X، تعداد موفقیتهای هستیم كه در nبار آزمایش ساده مشاهده می‎شود. امتحانهای ساده‎ای كه در این شرایط صدق می‎كنند به آزمایش‎های «برتولی» معروفند. در عمل فرضهای بیان شده در یك آزمایش دو جمله‎ای تنها در حالتهای محدودی وجود دارند، اما مادامی كه هر آزمایش روی آزمایش دیگر اثر ناچیزی داشته باشد می‎توان نظریه دو جمله‎ای را بكار برد.

برای مثال، احتمال این كه یك رای‎دهنده موافق كاندیدای معینی در یك انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یك امتحان به امتحان دیگر ثابت می‎ماند. مادامی كه جامعه رای دهندگان در مقایسه با نمونه نسبتاً بزرگ باشد. اگر پنجاه درصد جامعه 1000 نفری از رای دهندگان كاندیدای A را ترجیح به دهند، آن گاه احتمال موافق بودن اولین مصاحبه شونده به كاندیدای A مساوی خواهد بود. احتمال موافق بودن دومین مصاحبه شونده به كاندیدای A مساوی یا خواهد بود كه بستگی دارد به اینكه آیا اولین مصاحبه شونده موافق بوده یا مخالف آن.

هر دو عدد نزدیك به هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین انتخاب هم همین طور است در صورتی كه n خیلی بزرگ باشد. اما اگر تعداد جامعه 10 و تعداد موافق كاندیداA، 5 نفر باشند، آن گاه احتمالی این كه اولین رای دهنده موافق A باشد مساوی و دومین مساوی یا بستگی به این كه اولی موافق یا مخالف بوده است خواهد بود. بنابراین برای جوامع كوچك، احتمال موافق بودن از یك رأی دهنده به رأی دهنده دیگر (از یك امتحان به امتحان دیگر) به طور محسوس تغییر می‎كند و نتیجتاً آزمایش دو جمله‎ای نخواهد بود.

توزیع احتمالی دو جمله‎ای
توزیع دو جمله‎ای بوسیله مقادیر n و p كه پارامترهای توزیع هستند توصیف می‎شود. پارامتر هر توزیع عبارت است از یك مشخصه جامعه. در توزیع دو جمله‎ای پارامتر n عبارت است «تعداد امتحانها» و p عبارت از احتمال موفقیت در هر امتحان ساده می‎باشد. برای هر n وp داده شده با توجه به فرضیات آزمایش دو جمله‎ای می‎توان احتمال هر تعداد موفقیت را حساب كرد و نیز می‎توان دیگر مشخصه‎های توزیع مثل میانگین و واریانس را هم به دست آورد.

برای نشان دادن این كه چگونه توزیع احتمالی دو جمله‎ای حاصل می‎شود،‌فرایند تولید را در نظر بگیرید كه یك وسیله همانندی تولید می‎كند كه به دو صورت سالم و یا ناقص دسته‎بندی می‎شود. وقتی كه فرایند به طور درست كار نكند، احتمال ثابت 10/0=p وجود دارد كه كالا ناقص تولید شود. تعداد ناقص‎ها هر مقداری از 0 تا تعداد آزمودنی (n) می‎تواند باشد. برای مثال، ممكن است سئوال شود، «احتمال این كه در یك نمونه تصادفی چهارتایی یك نتیجه ناقص باشد چقدر است؟ یا احتمال این كه دو یا بیشتر در یك نمونه تصادفی چهارتایی ناقص وجود داشته باشد چقدر است؟ كلمه تصادفی معادل مستقل بودن در تعریف آزمون دو جمله‎ای است.

برای محاسبه احتمالات در آزمایش دو جمله‎ای می‎توانیم از قوانین ضرب احتمال استفاده كنیم. مانند
(یك رویداد) p(تعداد رویدادهای مربوط)=(پیشامد)p

در یك مسئله دو جمله‎ای، علاقمند به محاسبه احتمال دقیقاً x موفقیت در n تكرار امتحان برنولی هستیم، كه هر امتحان دارای احتمال موفقی p است. به این معنی كه ما x موفقیت و n-x عدم موفقیت داریم. برای محاسبه چنین احتمالهایی، لازم است كه احتمال یك رویداد از این وع را پیدا كنیم، آن گاه آن را در تعداد ممكن چنین رویدادهایی ضرب كنیم. چون فرقی ندارد كدام رویداد را ابتدا بررسی كنیم، فرضی كنید به طور اختیاری این رویداد را بررسی كنیم كه در آن x موفقیت ابتدا رخ دهد، ادامه پیدا كند یا n-x (عدم موفقیت). فرض كنید موفقیت S= و عدم موفقیت F= باشد، بنابراین این رویداد ویژه به صورت زیر مرتب نمود.

SS…S FF…F
n-x عدم موفقیت x موفقیت
برای تعیین احتمال توأم چنین دنباله ویژه‎ای از موفقیت‎ها و عدم موفقیت‎ها، توجه كنید كه امتحانها فرض می‎شوند كه از هم مستقل هستند. چون احتمال یك موفقیت p(S)=p و p(F)=q است، بنابراین داریم.
P(SS…S FF…F)=p(S)p(S)…p(S)p(F)p(F)…p(F)
=(p)(p)…(P)(q)(q)..(q)

می‎توان نشان داد كه نشان دهنده احتمال هر دنباله‎ای است كه در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت وجود دارد. بنابراین كافی است بدانیم چند رخ داد متفاوتی وجود دارد كه در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت داشته باشیم. جواب عبارت است از تعداد تركیب‎های x از n می‎دانیم این تعداد عبارت از

بنابراین حاصلضرب در احتمال x موفقیت در n امتحان را با احتمال ثابت موفقیت (p) به صورت زیر به دست می‎دهد.
(6-1) (x موفقیت در n امتحان)p

این توزیع را توزیع دو جمله‎ای گویند. اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جمله‎ای با پارامترهای n و p باشد معمولاً آن را به صورت زیر می‎نویسند.

مثال 6-1 اگر كسر ناقصی تولید یك كالا مساوی 1/0=p باشد، در یك نمونه تصادفی چهارتایی از این كالاها توزیع احتمالی تعداد كالاهای ناقص را حساب كنید.
حل: یك كالای انتخاب دو صورت خواهد داشت یا سالم است و یا ناقص. احتمال این كه یك كالای انتخاب ناقص باشد مساوی 1/0=p كالاهای انتخابی از همدیگر مستقل هستند بنابراین تعداد كالاهای خراب در نمونه دارای توزیع دو جمله‎ای است. بنابراین توزیع احتمالی تعداد كالاهای خراب طبق جدول 6-1 خواهد بود.

جدول 6-1: توزیع دو جمله با 4=n و 1/0=p
جمع 4 3 2 1 0 Xتعداد كالاهای خراب
1 0001/0 0036/0 0486/0 2916/0 6561/0 P(x)

كه در آن احتمال این كه دقیقاً (1=x) كالای خراب در نمونه چهارتایی (4=n) وقتی كه 1/0=p باشد، داشته باشیم به صورت زیر حساب می‎شود

با استفاده از جدول 6-1 به سادگی می‎توان احتمال این كه تعداد خراب‎ها كمتر یا مساوی 2 باشد را حساب كرد.

مثال 6-2 به منظور عیب یابی در تولید یك نوع كالا كه به مقدار زیاد توسط ماشین در كارخانه تولید می‎شود، با استفاده از طرح نمونه‎گیری، كالای تولیدی بازرسی می‎شود. ده قلم كالا به طور تصادفی انتخاب و مورد آزمایش قرار می‎گیرند. چنانچه دو یا بیشتر كالای ناقص مشاهده شود، كالای تولیدی رد می‎شود. اگر كل كالای تولیدی دقیقاً 5 درصد ناقص داشته باشد، احتمال این كه كالا پذیرفته شود چقدر است؟ احتمال این كه كالا رد شود چقدر است؟
حل: با توجه به شرایط یك آزمایش دو جمله‎ای، مشاهده می‎شود كه تعداد كالاهای ناقص در نمونه، x دارای توزیع دو جمله‎ای زیر است.

در صورتی كالا پذیرفته می‎شود كه در نمونه یا خراب مشاهده نشود و یا یكی مشاهده شود بنابراین

آن گاه، احتمال رد كالا عبارت خواهد بود از

مثال 6-3 یك واكسن جدید جلوگیری از سرماخوردگی برای تعیین اثر جلوگیری آن در سرماخوردگی عمومی مورد آزمایش قرار گرفته است. برای این كار به ده نفر واكسن تزریق كرده و بعد از مدت یكسال مشاهده شده كه هشت نفر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری كرده‎اند.
فرض كنید وقتی كه واكسن استفاده نشود،

احتمال اینكه یك نفر بدون سرماخوردگی زمستان را سپری كند مساوی 5/0 باشد. احتمال اینكه هشت نفر یا بیشتر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری كنند بشرطی كه واكسن در افزایش مقاومت بدن در برابر سرماخوردگی موثر نباشد چقدر است؟
حل: فرض كنید در صورتی كه واكسن مؤثر نباشد، احتمال اینكه یك نفر زمستان را بدون سرماخوردگی طی كند مساوی 5/0=p است. توزیع احتمالی برای x، تعداد سرما نخوره‎ها عبارت است از:

مثالهای 6-1، 6-2 و 6-3 موارد استفاده توزیع دو جمله‎ای و محاسبه احتمال x موفقیت در n امتحان را با توجه به تعریف آزمایش دو جمله‎ای روشن می‎ساند.
البته نكته مهم این است كه برای هر عمل فیزیكی بایستی دقیقاً مشخصه‎های آزمایش دو جمله‎ای بخش 6-2 برای تعیین اینكه آیا مدل آزمایش دو جمله‎ای برای عمل مورد نظر معتبر است تطبیق داده شود.

توجه می‎كنید كه مثالهای فوق مسائلی احتمالی بودند تا آماری. احتمال موفقیت در یك امتحان ساده معلوم است و ما می‎خواهیم در n امتحان احتمال پیشامدهای عددی معینی را حساب كنیم. حال روش را بر عكس در نظر می‎گیریم، به این معنی كه فرض می‎كنیم یك نمونه از جامعه داریم و می‎خواهیم راجع به p استنباط بكنیم. شكل فیزیكی مثالهای 6-2 و 6-3 در صورتی كه هدف نهایی استنباط آماری باشد وضعیت عملی خوبی به دست می‎دهد از این دو مسئله در بخش‎های آتی در استنباط آماری استفاده خواهیم كرد.

تمرین 6-1 اطلاعات قبلی نشان می‎دهد كه 30درصد تمام بیمارانی كه در یك كلینیك پذیرش می‎شوند نمی‎توانند هزینه خود را پرداخت كنند. فرض كنید 4=n بیمار جدید نشان دهنده یك نمونه جدید از جامعه بیمارانی باشند كه توسط كلینیك تحت مداوا قرار می‎گیرند. احتمال اینكه
الف) هیچكدام از بیماران هزینه را پرداخت نكنند.
ب) یك نفر از بیماران هزینه را پرداخت نكند.
ج) تمام بیماران هزینه را پرداخت كنند.

احتمال اینكه تیراندازی در هر شلیك تیر به هدف بزند مساوی 8/0 است. او چهار تیر به هدف شلیك می‎كند، پیدا كنید.
الف) دقیقاً دو تیر به هدف بزند.
ب)لااقل یك تیر به هدف بزند.
ج)چهار تیر به هدف اصابت نماید.

6-3 یك روش جدید جراحی 80درصد با موفقیت انجام می‎شود. اگر عمل جراحی پنج مرتبه انجام شود و فرض كنیم كه عملاً از یكدیگر مستقل باشند پیدا كنید.
الف) احتمال اینكه هر پنج عمل با موفقیت انجام شوند چقدر است؟
ب) احتمالی اینكه كمتر از دو عمل به موفقیت بیانجامد چقدر است؟
ج) فقط چهار عمل با موفقیت انجام شود چقدر است؟

6-4 به تمرین 6-3 مراجعه نمائید، اگر كمتر از دو عمل با موفقیت همراه بودند در باره تیم عمل جراحی چه نظری داشتید؟
6-5 به تمرین 6-3 مراجعه كنید، اگر x تعداد موفقیت‎ها در عمل‎های جراحی باشد، توزیع احتمالی آن را رسم نمائید.
6-4-میانگین و واریانس توزیع دو جمله‎ای

می‎دانیم كه توزیع دو جمله‎ای بوسیله پارامترهای n و P مشخص می‎‏شوند. از طرفی هر توزیعی دارای مشخصه‎هایی است مثل میانگین و واریانس. بنابراین ممكن است در توزیع دو جمله‎ای، میانگین و واریانس را نیز بر حسب n وp بدست آورد.

می‎توان با استفاده از قضایای مربوط به جمع و با استفاده از مهارت در جابجایی جبری، میانگین و واریانس متغیر تصادفی x كه دارای توزیع دو جمله‎ای با پارامتر pو n است را مستقیماً حساب نمود در اینجا سعی می‎كنیم این ویژگی‎های توزیع را با استفاده از مثالهای ساده حساب كرده و آن گاه در حالت كلی تعمیم دهیم. برای n=1، توزیع احتمالی x عبارت از
1 0 X
P Q P(x)
با توجه به تعریف امید ریاضی، داریم

و برای 2=n، توزیع احتمالی عبارت است از
2 1 0 X
2p Pq2 2q P(x)

برای 3=n با توجه به توزیع احتمالی x داریم

می‎توان حدس زد كه نتیجه در حالت كلی نیز برقرار است. در واقع می‎توان با استفاده از قضایای ریاضی نشان داد كه امید رضای x در توزیع دو جمله‎ای با n امتحان با پارامتر p، برابر است با

به همین طریق می‎توان واریانس x را برای 2و1=n امتحان به دست آورد. برای 1=n

برای 2=n

با جایگذاری q=1-p، خواهیم داشت

به سادگی می‎توان نشان داد كه برای 3=n، واریانس مساوی pq3 است. در حالت كلی برای n امتحان و با پارامتر p، می‎توان استنباط نمود كه واریانس و انحراف معیار برابر است با

و

مثال 6-4 در یك فرایند تولید كه كالای همانندی تولید می‎شود، 10% كالاهای تولیدی ناقص هستند در انتخاب 20 نمونه تصادفی كالا از این فرایند، میانگین و واریانس و انحراف معیار تعداد كالاهای ناقص را حساب كنید.
حل: فرض می‎كنیم مقدار كالاهای ناقص در نمونه باشد =x
واضح است كه
بنابراین،

تمرین
6-6 به تمرین 6-1 مراجعه نمائید، می‎دانیم كه 30 درصد بیماران پذیرش شده قادر به پرداخت هزینه بیمارستان نیستند. اگر در طول زمان یكسال 2000 نفر در بیمارستان معالجه گردند حساب كنید.
الف) میانگین افرادی كه قادر به پرداخت صورتحساب بیمارستان نیستند چیست؟
ب) واریانس و انحراف معیار این تعداد را حساب كنید.

6-7 یك آزمون دارای 15 سوال است كه هر سوال دارای چهار جواب احتمالی بوده كه فقط یكی از آنها درست است. شخصی به طور شانسی علامت می‎زند، مطلوبست محاسبه
الف) میانگین تعداد جوابهای درست

ب) احتمال اینكه به 8 تا 10 سوال جواب درست به دهد چقدر است؟
6-8اگر متغیر تصادفی x دارای توزیع دو جمله‎ای با میانگین 5/2 و واریانس 25/1 باشد را محاسبه كنید.

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله انتگرال

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله انتگرال دارای 18 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله انتگرال  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله انتگرال،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله انتگرال :

انتگرال
• محاسبه انتگرال
• تقریب انتگرالهای معین
• تعریف های انتگرال
• سایتهای مرتبط
• پیوندهای خارجی

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت نشان می دهند علامت ،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند.

محاسبه انتگرال

اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم .
2پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم:
3قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم .
معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از :
• انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر
• انتگرال گیری جزء به جزء
• انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
• انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید .

تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار.
هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری
از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند .

تعریف های انتگرال

از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد.
از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند:
• انتگرال ریمان
• انتگرال لبسکی
• انتگرال riemann-stieltjes
جدول انتگرالها

انتگرال گیری یکی از دو عامل اساسی در حسابان میباشد و از آنجائیکه برخلاف مشتق گیری، غیر-جزیی می باشد، جداول انتگرالهای شناخته شده اغلب مفید می باشند. این صفحه عمل معکوس مشتق گیری های معمول را فهرست نموده است؛ یک فهرست کاملتر را میتوانید در فهرست انتگرالها)) بیابید.

ما از C برای یک مقدار ثابت دلخواه در انتگرال گیری استفاده مینماییم، که در صورتی قابل تعیین خواهد بود که اطلاعی از مقدار انتگرال در نقطه‌ای داشته باشیم. لذا هر تابع تعداد نامحدودی انتگرال دارد.

:
:
________________________________________
:
________________________________________
:
:
________________________________________
:
:
:
________________________________________
:
:
:
:
:
:
________________________________________
:
:
:
:
________________________________________
:
:
:
:
:
:

این معادلات صرفا در شکل دیگری در جدول مشتقات بیان شده‌اند.

انتگرالهای معین

توابعی وجود دارند که عمل معکوس مشتق گیری را برای آن توابع نمی توان در شکل بسته نمایش داد. بهرحال، مقادیر انتگرالهای محدود این گونه توابع را میتوان در فاصله های متعارف محاسبه نمود. ذیلا، تعداد کمی از انتگرالهای محدود ارائه شده‌اند.

:
:
:
:
:
انتگرال ریمان

• مجموع ریمان :
o مثال :
• انتگرال ریمان:
o تعریف انتگرال ریمان:
• همچنین ببینید:

پیدا کردن مساحت
هاشور خورده

همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.
حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از مستطیلها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب چهار نقطه تا روی محور xها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم.(همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.
برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند را انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به نزدیک خواهد بود.

ولی این ارتفاع دقیق نیست. بنابراین نقطه ای مانند بین های متوالی انتخاب می کنیم. در این حالت مقدار دقیق تری را اختیار می کند. اگر
تعریف کنیم در این صورت جمع مساحت مستطیل ها برابر خواهد بود با

مجموع ریمان:

مجموع مساحت مستطیل های که ما برای تخمین مساحت زیر منحنی استفاده می کنیم. مجموع ریمان نامیده می شود. حال با مثالی این مجموع را توضیح می دهیم:

تابع:

نقاط شروع و پایان بازه:

و

تعداد مستطیل ها (یا تعداد بازه ها)
:

با استفاده از مجموع ریمان:

خواهیم داشت:

11924959 =مقدار دقیق مساحت
118740138= مساحت محاسبه شده

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی دارای 27 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی :

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی
11 اندازه كمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی
دانش‌آموزان اولین چیزی را كه در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است كه شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشكل می‌رسد.

با ملاحظه توابع كمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با كمانی‌هایی مواجه خواهند شد كه اندازه آن‌ها ممكن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است كه اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان كه اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یك دور دایره به 360 قسمت (درجه) یك روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول كمان‌های دایره وابسته است.

در اینجا واحد اندازه‌گیری یك رادیان است كه عبارت از اندازه یك زاویه مركزی است. این زاویه به كمانی نگاه می‌كند كه طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یك زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول كمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است كه زاویه مطروحه در آن یك زاویه مركزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا كه محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر است از اینرو طول كمان برابر رادیان خواهد بود. در نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- كمانی به اندازه یك رادیان برابر چند درجه است؟
جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:
اگر باشد آنگاه یا را خواهیم داشت.
مثال 2-1-1 كمانی به اندازه رادیان برابر چند درجه است؟
حل: اگر و باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یك كمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر كمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهمیت است. مسیر كمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حركت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیكه در جهت حركت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.
دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه كه ذكر شد چنین داریم:

3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی كه با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌كند:
(1) عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

(2) اگر باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه را به عنوان نقطه مبدا كمان AP1 در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌كنیم، نقطه مقصد این مسیر را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روی دایره مثلثاتی همراه می‌كنیم. یا به عبارت دیگر نقطه Pt تصویر نقطه A=P0 خواهد بود وقتی كه صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.
(3) اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول را مشخص می‌كنیم. فرض كنید كه Pt نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریكه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نكته را می‌رساند كه نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیكه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بك‌بیك نیست: اگر به عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون كامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.
توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt كه متناظر به این عدد است یكی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه كرد.
مثال4-1-1- همه اعداد را كه متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آورید.
حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد:

فرض می‌كنیم كه Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شكل 3). آنگاه بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود: بدین ترتیب اندازه كمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر می‌شود.
یك تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت كه بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت كه در آن به صورت یك عدد صحیح است تابع دارای یك دوره تناوب می‌شود. كوچكترین دوره تناوب مثبت یك تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.
قضیه1-1 توابع و با دوره تناوب بنیادی متناوب هستند.

قضیه 2-1 توابع و با دوره‌ تناوب بنیادی متناوب هستند.
برهان قضایای 1-1 و 1-2 را با استفاده از نمودارهای سینوس، كسینوس، تانژانت و كتانژانت، و نیز به كمك دایره مثلثاتی می‌توان بطور عادی اثبات كرد. برای اعداد حقیقی فقط یك نقطه PX روی دایره مثلثاتی متناظر است از اینرو این اعداد دارای سینوس‌ها و كسینوس‌های یكسانی هستند. در همان حال هیچ عدد مثبت كوچكتر از نمی‌تواند دوره تناوب توابع باشد. در حقیقت اگر T دوره تناوب COSx باشد آنگاه cos T=cos (0+t)=cos0=1 خواهد بود. از اینرو به عدد T نقطه Pt با مختصات (1,0) متناظر بوده و در نتیجه عدد T دارای شكل خواهد بود؛ و بدلیل مثبت بودن آن را داریم. بطریق مشابه اگر T دوره تناوب تابع sin x باشد آنگاه بوده و به عدد نقطه با مختصات (01) متناظر می‌شود. از اینرو یا یعنی را خواهیم داشت.

برای اثبات قضیه 2-1 به این نكته توجه می‌كنیم كه نقاط به ازاء t نسبت به مبدا متقارن خواهند بود (عدد نیمدور از محیط دایره مثلثاتی را نشان می‌دهد) بنابراین مختصات نقاط pt+ و pt از نظر قدر مطلق برابر بوده و دارای علائم مختلف خواهند بود. یعنی خواهیم داشت.

بنابراین دوره تناوب tan t و cot t محسوب می‌شود.
مثال 1-3-1: دوره تناوب بنیادی تابع f(t)= cos t +sin t را بیابید.
حل: بدلیل رابطه تابع / متناوب است:
هیچ عدد مثبت T كوچكتر از بدلیل

دوره تناوب تابع f(t) محسوب نمی‌شود. در حقیقت اعداد و مخالف صفر بوده و علائم مختلفی دارند و اعداد و بر هم منطبق بوده و از اینرو داریم:

2- زوج بودن و فرد بودن. بخاطر داشته باشید كه تابع f در صورتی زوج خوانده می‌شود كه به ازاء هر x حوزه تعریف آن -x نیز به آن حوزه متعلق بوده و تساوی
F(-x)=-f(x)
برقرار باشد. تابع f در صورتی فرد خوانده می‌شود كه تحت همان شرایط بالا تساوی
F(-x)=-f(x)

برقرار می‌شود. یك جفت مثال در مورد توابع زوج بصورت و یك جفت مثال در مورد توابع فرد را می‌توان بصورت ارائه داد. توجه داشته باشید كه بسیاری از توابع فرد و نه زوج هستند. به عنوان مثال تابع
بدلیل اینكه به ازاء و است روج محسوب نمی‌شود. بطریق مشابه بدلیل تابع x فرد نیز نیست.
قضیه 3-1 توابع siمقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی، taمقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی، cotx، فرد و تابع cos x زوج است.
برهان: كمان‌های APT و AP-T را در دایره مثلثاتی كه دارای جها مخالف و اندازه‌های مساوی هستند در نظر می‌گیریم (شكل 11) این كمانها نسبت به محور طول‌ها متقارن بودهخ و از اینرو نقاط انتهایی آنها یعنی PT(COSt, sin t), p-t(cos (-t), sin (-t) دارای طول‌های مساوی و عرض‌های متقابل هستند؛ یعنی: cos –(t)=cos t, sin (-t)=-sin(-t) در نتیجه تابع sint فرد و تابع cot t زوج خواهد بودد از این گذشته طبق تعریف تانژانت و كتانژانت با شرط در اینجا نیز چنین داریم:
Tan(-t)=
و با شرایط (در اینجا نیز است داریم:

بدین ترتیب توابع tan t و cot t نیز فرد محسوب می‌شوند.
مثال4-3-1 ثابت كنید تابع (t)= sin3 2t cos4t +tan 5t فرد است.
اثبات. توجه دارید كه به ازاء هر t از حوزه تعریف تابع ( یعنی با شرط .چنین داریم:

3- یكنواختی. تابع f كه دربازه x تعریف شده در صورتی در این بازه افزایشی صعودی خوانده می‌شود كه به ازاء هرگونه اعدادی مانند با شرط نامساوی برقرار باشد؛ و اگر بین این مقادیر تابع نامساوی ضعیف، یعنی برقرار باشد آنگاه تابع f در بازه x ناافزایشی خوانده می‌شود. تعریف باتع كاهشی و تابع ناكاهشی نیز بطریق مشابه قابل ارائه است. ویژگیهای افزایشی یا كاهشی بودن یك تابع یكنوای آن تابع نیز نامیده می‌شود. بازه‌ای كه در آن تابعی افزایش یا كاهش پیدا می‌كند بازه یكنوایی آن تابع خوانده می‌شود.

یكنوایی توابع sin t و cos t را مورد بررسی قرار می‌دهیم. بر روی دایره مثلثاتی و در جهت مخالف حركت عقربه‌های ساعت (یعنی در جهت مثبت) نقطه pt با حركت از نقطه A=P0 به سوی نقطه (0,1) نمو پیدا كرده و به سمت چپ تغییر مكان می‌دهد.
یعنی با افزایش T عرض نقطه نیز افزایش می‌یاید، در حالیكه طول آن كاهش می‌یابد. عوض PT مساوی SIN T از 0 تا 1 افزایش می‌یابد و تابع cos t نیز از 1 تا 0 كاهش پیدا می‌كند.
قضیه 4-1 در بازه تابع sin t از 0 تا 1 افزایش می‌یابد، در حالیكه تابع cos t از 1 تا 0 كاهش پیدا می‌كند. در بازه تابع sin t از 1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا -1 كاهش می‌یابد. در بازه تابع sin t از 0 تا -1 كاهش و تابع cos t از -1 تا 0 افزایش پیدا می‌كنند. در بازه تابع sin t از -1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا 1 افزایش می‌یابد.

برهان: استدلال این قضیه بصورت نموداری ارائه شده است. در این اشكل نقاط در صدق می‌كنند.
قضیه5-1 تابع tan t در بازه افزایش و تابع cot t در بازه كاهش می‌یابد.
برهان: تابع tan t را مورد ملاحظه قرار می‌دهیم. نشان می‌دهیم كه به ازاء هرگونه اعدادی بصورت t1 و t2 كه در صدق می‌كند نامساوی برقرار است. سه حالت مورد ملاحظه قرار می‌دهیم: آنگاه براساس قضیه 14 چنین داریم:

از اینجا نتیجه می‌شود. بنابراین خواهد بود. . در این حالت و . بوده و از اینرو
خواهد بود. طبق قضیه 14 داریم:

بنابراین یعنی حاصل می‌شود. اثبات حكم مربوط به cot t نیز بطریق مشابه انجام می‌گیرد.
مثال 5-3-1 ثابت كنید توابع sin(cos t) و cos(sin t) در بازه كاهش می‌یابند.
برهان: اگر طبق باشد آنگاه بر اساس قضیه 14 خواهد بود. توجه داریم كه نقاطی از محیط دایره مثلثاتی متناظر به اعداد sin t1, sin t2, cos t1, cos t2 در ناحیه اول قرار دارند. دلیل امر این است كه این اعداد در بازه بسته قرار داشته و است. بنابراین می‌توان مجدداً قضیه 14 را بكار گرفت كه به موجب آن به ازاء هر اعدادی مانند و با شرط نامساوی‌های زیر متقاعد می‌شوند:

یعنی sin(cos t) و cos(sin t) در بازه توابعی كاهشی هستند.
4- رابطه بین توابع مثلثاتی یك شناسه (متغیر). اگر به ازاء مقدار معینی از متغیر مثلثاتی مربوط به آن معلوم باشد تحت شرایط معینی می‌توان مقادیر دیگر توابع مثلثاتی آن متغیر را بدست آورد. با تقسیم طرفین این اتحاد بر cos2 t (با شرط ) چنین بدست می‌آید:
(110)

در این رابطه است. با استفاده از این اتحاد می‌توان مقدار tan t را محاسبه كرد با این شرط كه مقدار cos t را نیز می‌توان با معلوم بودن مقدار tan t و علامت cos t محاسبه كرد.
4-1 حل توابع مثلثاتی ساده. توابع مثلثاثی معكوس.
1 حل معادله ARE SINE. SIN T= M.
برای حل معادلاتی به شكل SIN T=M لازم است كه همه اعداد حقیقی مانند T را طوری بیاییم كه عرض نقطه pt متناظر به آنها برابر m باشد. برای انجام این كار خط مستقیم y=m را رسم كرده و نقاط تلاقی آن را با دایره مثلثاتی بدست می‌آوریم.

معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی
1-3 كلیات
برای حل معادلات مثلثاتی روش كلی وجود ندارد و در هر مورد خاص تبدیلات و فرمول‌های معینی باید بكار گرفته شود.
مثال 1-1-3 معادله زیر را حل كنید:
Siمقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی+7cosx+7=0

در نتیجه معادله زیر حاصل می‌شود:

این معادله با و در نتیجه با هم ارز است. با این چون فرمول‌های جایگذاری عمومی فقط به ازاء xهایی كه را تعریف‌پذیر می‌سازند یعنی فقط به ازاء ، كاربرد پذیراند از اینرو استدلال فوق نادرست است.
2-3 روش‌های اصلی در حل معادلات مثلثاتی
1 حل معادلات مثلثاتی از طریق تحویل آنها به معادلات جبری، این روش وسیعاً مورد استفاده قرار می‌گیرد و در آن معادله اصلی به معادله‌ای به شكل
(34)
تحویل می‌یابد. در این معادله f(x) یك چند جمله‌ای و f(t) یك تابع مثلثاتی است.
اگر x1, x2, ….,xm ریشه‌های چند جمله‌ای F یعنی اگر
F=(X1)=0, F(X2)=0,…,F(XM)=0
باشد آنگاه معادله تبدیل یافته (34) به m معادله ساده تجزیه می‌شود:

مثال1-2-3 معادله زیر را حل كنید:
Cos 2t- 5sin t-3=0
حل، طبق فرمول (239) چنین داریم:
1-2 sin2 t-5sin-3=0
یا 2 sin2t + 5sint +2=0 با منظور كردن x=sint معادله اصلی شكل جبری زیر را اختیار می‌كند: 2×2+5x+2=0
با حل این معادله x1=-1/2,x2=-2 وصول می‌یابیم. همه تبدیلات انجام گرفته وارون پذیر بوده و بنابراین معادله اصلی به دو معادله ساده بصورت زیر تجزیه می‌شود:
و
معادله دوم به دلیل فاقد جواب بوده و از اینرو sin t=-1/2 را یعنی:

را اختیار می‌كنیم
3-3-3-. حل معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی چند مجهولی.
وجود دومجهول و یا بشتر در معادلات و دستگا‌ه‌های معادلات مثلثاتی مشكلات معینی به همراه دارد. جواب یك چنین معادله یا دستگاه بصورت مجموع‌ای از مقادیر متغیرها تعریف می‌شود و از این مقادیر معادله یا هر یك از معادلات دستگاه را به یك تساوی عددی تبدیل می‌كنند. در حل معادله یا دستگاه معینی باید همه چنین مجموعه‌ها یافته شوند.

بنابراین در حل اینگونه مسائل اگر جواب هر یك از مجهولات دیگر بیان كرده و از این طریق به حذف آن از دستگاه مبادرت كنیم. روش دیگر در حل دستگاههای معادلات مثلثاتی عبارت از تحویل آن به دستگاه معادلات چیزی است كه در آن تعدادی توابع مثلثاتی به عنوان مجهولات جدید شركت می‌كنند. همچون معادلات مثلثاتی یك مجهولی، در مورد دستگاه‌ها نیز می‌توانیم تبدیلات همانندی برای تجزیه یك یا چند معادله دستگاه به معادلات ساده‌ای از نوع1- sin (x+2y)= tan (x-y)= و غیره انجام می‌دهیم.
مثال1-3-3 دستگاه معادلات زیر را حل كنید:

حل، از معادله اول دستگاه نتیجه میشود كه بوده و دو حالت در اینجا ممكن می‌گردد: اگر sin x=0 باشد آنگاه این معادله به یك اتحاد تبدیل می‌شود و اگر باشد آنگاه معادله مزبور cos y=0 را موجب می‌شود. در نتیجه دستگاه مطروحه با مجموعه دو دستگاه زیر هم ارز خواهد بود:

و

دستگاه اول فاقد جواب0) (cos 2y+2 بوده در حالیكه دستگاه دوم با دو معادله زیر هم‌ارز است:
}
در نتیجه مجموع همه جوابهای دستگاه اصلی شامل ازواج عددی مانند (x,y) بصورت زیر خواهد بود:

1-4 نمودار توابع اساسی مثلثات.
قبل از هر چیز خاطرنشان می‌سازیم كه نمودار تابع f با حوزه تعریف D(f) بصورت مجموعه‌ای از نقاط با مختصات (x,y) بر روی صفحه مختصاتی با شرط y=f(x) تعریف می‌شود. این تعریف همیشه باید در اثبات ویژگی‌های نمودار تابع و ملاحظه اعمال مربوط به رسم نمودارها مورد استناد قرار گیرد.
1 ویژگی‌ها و رسم نمودار تابع f(x)=sin x.

(1) حوزه تعریف تابع عبارت از D(f)=R و مجموعه مقادیر آن عبارت از E(f)=[-1,1] است.
(2) تابع sin x یك تابع متناوب است. هر عددی بصورت و دوره تناوب این تابع بوده و دوره تناوب بنیادی آن محسوب می‌شود(به موضوع شماره 1 بخش 13 مراجعه كنید.) بنابراین در رسم نمودار این تابع می‌توان آن را را ابتدا در بازه بسته با طول رسم كرده و سپس این نمودار را در امتداد محورxها با دوره تناوب تكرار كنیم، دلیل امر این است كه همه نقاطی به شكل:

مقادیری همسان به مقدار نقطه (x,siمقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی) بر روی منحنی تابع دارند.
(3) تابع sin x یك تابع فرد بوده و از اینرو نمودار آن نسبت به مبدا متقارن خواهد بود. در حقیقت به ازاء هر نقطه‌ای مانند (x, sin x) بر روی نمودار، نقطه (-x, -siمقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی)=(-x,sin(-x) كه بوسلیه كاربرد تقارن مركزی نسبت به نقطه (x, sin x) بدست آمده است روی نمودار مزبور واقع خواهد شد. در نتیجه برای رسم نمودار تابع در بازه كافی است كه آن را در بازه رسم كرده و سپس تقارن مركزی آن را نسبت به مبدا بنگاریم.

(4) درباره نمودار تابع با محور xها دارای دو نقطه مشترك (0,0) و است. بطور كلی تساوی sin x=0 با هم ارز محسوب می‌شود.
(5) تابع sin x در بازه افزایش و در بازه كاهش می‌یابد. این امر بدین معنی است كه اگر باشد آنگاه و اگر باشد آنگاه:
sin x1 sin x2 خواهد بود. از اینرو نتیجه می‌شود كه نقطه ماگزیمم تابع sin x است. حال نمودار تابع sin x را طی مراحل چندگانه رسم می‌كنیم.

0 (x)
0

1

0 Sin x

روی صفحه مختصاتی نقاطی به شكل (x, sin x) را كه در آن x اعدادی از جدول فوق است مشخص كرده و سپس آنها را روی یك خط خمیده بهم وصل می‌كنیم. تقارن مركزی این بخش از نمودار را نسبت به نقطه o (مبدا) پیدا می‌كنیم. سپس قطعه حاصله (یعنی قطعه قبلی و متقارن آن) از نمودار تابع را با دوره تناوب روی محور xها تكرار می‌كنیم. بدین ترتیب نمودار تابع sin x حاصل می‌شود. آن را منحنی سینوسی یا منحنی جیب‌نما می‌نامند.

در روش دیگر برای رسم نمودار تابع، محاسبه مقادیر منفرد تابع sin x لازم نمی‌شود. در این روش از دایره مثلثاتی استفاده می‌گردد. برای این منظور بازه را نصف می‌كنیم. توجه داشته باشید كه بعد از مشخص كردن نقطه روی محور xها همه ترسیمات دیگر بوسیله خط‌كش و پرگار انجام می‌گیرد.
توجه داشته باشید كه تابع siمقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی روی بازه‌ای به شكل: :
از 1 تا -1 كاهش می‌یابد. مقدار بیشینه siمقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی=1 در نقاط و و مقدار كمینه sin x= -1 در نقاط بدست می‌آید.
2- ویژگی‌ها و نمودار تابع f(x) =cos x.

نمودار تابع cos x با استفاده از اتحاد sin (x+ فرمول تحویل به بهترین روش ممكن رسم می‌شود. از این اتحاد استنباط می‌شود كه نمودار تابع sin x از انتقال نمودار تابع cos x به اندازه روی محورxها به طرف چپ حاصل می‌شود. در به ازاء هر نقطه‌ای مانند x) (x, sin از نمودار تابع sin x نقطه . روی نمودار تابع cos x قرار دارد . دلیل امر رابطه زیر است: عكس این نكته نیز درست است: به ازاء هر نقطه‌ای مانند (x,cosx) از نمودار تابع cos x نقطه روی منحنی تابع siمقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی قرار دارد. دلیل این موضوع، است.

3- تابع cos x یك تابع زوج بوده و نمودار آن نسبت به محور عرض‌ها متقارن محسوب می‌شود: اگر نقطه (x,cosx) روی نمودار تابع cosx واقع باشد آنگاه نقطه نیز روی آن قرار خواهد گرفت.
4- COS X=0 به ازاء و
5- تابع COS X در هر بازه‌ای به شكل و از 1 تا -1 كاهش و در هر بازه‌ای به شكل از -1 تا 1 افزایش می‌یابد. به ازاء و مقدار بیشینه 1 را اختیار می‌كند.
2-4 محاسبه حدود.
تئوری حدود در تبیین مفاهیم اساسی پیوستگی و دیفرانسیل‌پذیری یك تابع و یافتن مشتق‌ها و انتگرال‌ها نقش اساسی دارد. ما با مسائلی از قبیل یافتن حدود تابعی برحسب عبارات مثلثاتی در نقاط معینی مواجه می‌شویم.

تعریف. فرض می‌كنیم كه تابع f(x) D تعریف شده باشد. نقطه a را طوری انتخاب می‌كنیم كه هر همسایگی آن نقاط بیشماری از D(f) را شامل شود. (این نقطه را نقطه انباشتگی یا نقطه حدی مجموعه D(f) نامیده می‌شود.) آنگاه عدد b حد تابع f(x) در نقطه a نامیده می‌شود با این شرط كه به ازاء هر عدد مثبت عدد مثبتی مانند 8 وجود داشته باشد بطوریكه به ازاء هر نقطه‌ای مانند كه در صادق است نامساوی برقرار باشد. حد یك تابع را بصورت زیر می‌نویسیم:

تعریف. تابع f(x) با شرط lim f(x)= f(a) در نقطه‌ای مانند پیوسته خوانده می‌شود.
قضیه 1-4 توابع sin x,cos x, tan x, cot

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله میزان برق مصرفی 35 خانوار

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله میزان برق مصرفی 35 خانوار دارای 18 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله میزان برق مصرفی 35 خانوار  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله میزان برق مصرفی 35 خانوار،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله میزان برق مصرفی 35 خانوار :

مقدمه:
مهمترین وظیفه ی مدیران و برنامه ریزان اتخاذ تصمیم به موقع است این امر زمانی فراهم است که اطلاعات کافی در زمینه موردنظر در دسترس باشد. فقدان اطلاعات کافی باعث می شود که تصمیم گیری بر اساس حدس، گمان، ادراکات کلی و عمومی صورت پذیرد.
به همین دلیل اطلاعات از شیوه های گردآوری اطلاعات و منابع آن، روشهای نمایش داده ها و بالاخره تجزیه و تحلیل داده ها به مدد شاخصهای آماری، برای کارشناسان و برنامه ریزان هر سازمان، امر اجتناب ناپذیری است

اولین گام در انجام هر تحقیقی تعیین هدف و موضوع تحقیق می باشد. هدف من از گردآوری چنین تحقیقی مقایسه ی میزان برق مصرفی 35 خانوار در دو ماه مرداد و شهریور بر حسب کیلووات ساعت می باشد که در آن از نمودارهای مختلفی برای نمایش داده ها استفاده کرده ام تا نتیجه گیری با کمترین نقص و اشتباهی صورت پذیرد.
میزان برق مصرفی 35 خانوار در دو ماه مرداد و شهریور:

داده های خام:
الف) «ماه مرداد»:
7
148 6
75 5
38 4
94 3
82 2
90 1

86 شماره خانوار
میزان برق مصرفی
14
83 13
58 12
105 11
158 10
164 9
28 8

131 شماره خانوار
میزان مصرف
21
96 20
92 19
94 18
10 17
19 16
57 15

58 شماره خانوار
میزان مصرف
28
125 27
75 26
121 25
74 24
90 23
112 22

118 شماره خانوار
میزان مصرف
35
78 34
36 33
95 32
89 31
136 30
126 29

50 شماره خانوار
میزان مصرف
ب) « ماه شهریور»:
7
72 6
62 5
81 4
64 3
52 2
66 1

163 شماره خانوار
میزان مصرف
14
84 13
88 12
9 11
76 10
73 9
50 8

60 شماره خانوار
میزان مصرف
21
71 20
40 19
59 18
98 17
91 16
128 15

80 شماره خانوار
میزان مصرف
28
56 27
75 26
93 25
61 24
68 23
70 22

37 شماره خانوار
میزان مصرف
35
115 34
77 33
135 32
83 31
54 30
84 29

87 شماره خانوار
میزان مصرف
رده بندی داده ها از کوچک به بزرگ:
ماه مرداد «A»
82، 78، 75، 75، 74، 58، 58، 57، 50، 38، 36، 28، 19، 10
125، 121، 118، 112، 105، 96، 95، 94، 94، 92، 90، 90، 89، 86، 83
154= 10- 164= a – b = R 164، 158، 148، 136، 131، 126
جدول فراوانی:

درصد فراوانی نسبی فراوانی نسبی فراوانی تجمعی مرکز دسته فراوانی مطلق خط نشان حدود دسته
%5/8=100*

3 21 3 /// [32-10]
%5/8=100*

6 43 3 /// [54-32]
%1/17=100*

12 65 6 / //// [76-54]
%2/34=100*

24 87 12 // //// //// [98-76]
%5/8=100*

27 109 3 /// [120-98]
%2/14=100*

32 131 5 //// [142-120]
%5/8=100*

35 153 3 /// [164-142]
35 جمع

نتیجه گیری: اکثر داده های مابین حدود دسته: [98-76] است که نشان دهنده ی این است که برق مصرفی این 35 خانوار بیشتر در این حدود دسته است.
رده بندی داده ها از کوچک به بزرگ:
ماه شهریور «B»
71، 70، 68، 66، 64، 62، 61، 60، 59، 56، 54، 52، 40، 37، 9، 2
93، 91، 88، 87، 84، 84، 83، 81، 80، 77، 76، 75، 73، 72
161= 2- 163= a – b = R 163، 135، 128، 115، 98
جدول فراوانی:

درصد فراوانی نسبی فراوانی نسبی فراوانی تجمعی مرکز دسته فراوانی مطلق خط نشان حدود دسته
%7/5
2 5/13 2 // [25-2]
%7/5
4 5/36 2 // [48-25]
%4/31
15 5/59 11 / //// //// [71-48]
%8/42

30 5/82 15 //// //// //// [94-71]
%7/5
32 5/105 2 // [117-94]
%7/5
34 5/125 2 // [140-117]
%8/2
35 5/151 1 / [163-140]
35 جمع

نتیجه گیری: با توجه به اینکه جدول فراوانی نمی تواند معیار خوبی برای نظر دادن در مورد داده ها باشد ولی با این حال مشاهده می شود که اکثر داده ها در دسته ی: [94-71] هستند.
نمایش داده ها به صورت نمودار:
نمایش داده ها به صورت تصویر و نمودار معمولاً بهتر و سریعتر قادر به انتقال پاره ای از مطالب و اطلاعات نهفته در داده ها می باشد. با کمک نمودار بهتر می توان روند تغییرات داده ها و نیز تفاوت بین دو روند را مشاهده کرد

.
نمودار میله ای، ستونی یا مستطیلی:
بهترین طریقه ی نمایش مقادیر یک متغیر گسسته استفاده از نمودار میله ای یا مستطیلی است. در این نمودار ارتفاع خطی (یا مستطیلی) که بر بالای هر اندازه متغیر رسم می شود، متناسب با فراوانی آن اندازه است. از این نمودارها همچنین می توان برای مقایسه استفاده کرد. انواع مختلف فروانی، فراوانی نسبی و فراوانی تجمعی را می توان با این نمودار نشان داد.
الف) نمودار میله ای برق مصرفی 35 خانوار در مرداد:

ب) نمودار میله ای برق مصرفی 35 خانوار در ماه شهریور:

مقایسه میزان برق مصرفی 35 خانوار در دو ماه مرداد و شهریور
با مقایسه ی دو نمودار می توان گفت که برق مصرفی این 35 خانوار در ماه شهریور کمتر شده است البته نمودار میله ای همان طور که گفته شد برای متغیرهای گسسته است.
نمودار مستطیلی برق مصرفی 35 خانوار در ماه مرداد (A):

نتیجه گیری:
با توجه به شواهد پیش بینی شده در ماه مرداد بیشترین برق مصرفی 35 خانوار مابین (98-76] کیلووات ساعت می باشد.
نتیجه گیری جالب دیگری که می توان گرفت این است که تعداد خانوار مصرف برق در چهار دسته برابر است.
نمودار مستطیلی برق مصرفی 35 خانوار در ماه شهریور (B):

مقایسه میزان برق مصرفی 35 خانوار در دو ماه مرداد و شهریور:
همان طور که گفته شد مصرف برق در ماه شهریور به نسبت کمتر شده است.
(نمودار مستطیلی نمایشی از داده های دسته بندی شده می باشد که در آن سطح مستطیل ها متناسب با فراوانی دسته ها است)

 

چنبر فراوانی برق مصرفی 35 خانوار در ماه مرداد (A):
این نمودار در واقع نمودار خط شکسته است که برای متغیرهای پیوسته رسم می شود برای رسم این نمودار مرکز طبقات (دسته) را روی محور افقی و فراوانی مطلق هر طبقه را روی محور عمودی نشان می دهیم. در بالای مرکز هر دسته، نقطه ای به فاصله فراوانی دسته مشخص می کنیم. مجموعه نقاط به دست آمده را به وسیله ی خطوط راست به هم وصل می کنیم. از نمودار چنبر فراوانی یا چندضلعی یا پلیگون برای نمایش فراوانی و فراوانی نسبی می توان استفاده کرد.

نمودار چنبر فراوانی (چندضلعی) برق مصرفی 35 خانوار در ماه شهریور (B):

نمودار دایره ای برق مصرفی 35 خانوار در ماه شهریور (B):
درصد فراوانی نسبی فراوانی نسبی حدود دسته
5/20 = 360 *
% 7/5
(25-2]
5/20 = 360 *
%7/5
(48-25]
1/113 = 360 *
% 4/31
(71-48]
2/154 = 360 *
% 8/42
(94-71]
5/20 = 360 *
% 7/5
(117-94]
5/20 = 360 *
%7/5
(140-117]
2/10 = 360 *
% 8/2
(163-140]

نمودار دایره ای برق مصرفی 35 خانوار در ماه مرداد (A): (نمودار کلوچه ای)
این نمودار بیشتر برای نمایش متغیرهای گسسته به کار می رود. در موارد بسیار زیاد و متنوع، مخصوصاً در تحقیقات جمعیت شناسی و جغرافیایی از این روش استفاده ی بسیار می شود.
درصد فراوانی نسبی فراوانی نسبی حدود دسته
8/30 = 360 *
% 5/8
(32-10]
8/30 = 360 *
%5/8
(54-32]
7/61 = 360 *
% 1/17
(76-54]
4/123 = 360 *
% 2/34
(98-76]
8/30 = 360 *
% 5/8
(120-98]
4/51 = 360 *
%2/14
(142-120]
8/30 = 360 *
% 5/8
(164-142]

نمودار دایره ای برق مصرفی 35 خانوار در ماه شهریور (B):

نتیجه گیری: با توجه به این نمودار بیشترین مصرف برق مابین (94-71] کیلووات ساعت است که نشان گر این موضوع است که مصرف برق نسبت به ماه گذشته کمتر شده است.
البته نمودار دایره ای یا کلوچه ای برای نمایش متغیرهای گسسته به کار می رود. بنابراین نتیجه می گیریم که تدارک اطلاعات و مهمتر از همه پردازش آنها، می تواند مدیران را در تصمیم گیری یاری رساند.

به همین دلیل تجزیه و تحلیل داده ها به مدد شاخصهای آماری، برای مدیران و کارشناسان، امری اجتناب ناپذیر است.
میانگین، مد و میانه و واریانس برق مصرفی 35 خانوار در ماه مرداد (A):

میانه به داده ها تعلق دارد. 90 = میانه
94 و 90 و 75 و 58 = مد

نمودار جعبه ای برق مصرفی 35 خانوار در ماه مرداد:

میانگین، میانه، مد(نما)، واریانس، انحراف معیار و ضریب تغییرات ماه شهریور (B):

84= مد میانه به داده ها تعلق دارد. 73 = میانه=2Q

نمودار جعبه ای برق مصرفی 35 خانوار در ماه مرداد:

نمودار ساقه و برگ برق مصرفی 35 خانوار در ماه مرداد (A):
برگ ساقه نمودار: 90 = 0 9

نمودار اوجایو مربوط به برق مصرفی 35 خانوار در ماه مرداد (A):
نموار چندضلعی اوجایو برای نمایش فراوانی تجمعی به کار می رود. برای ترسیم آن، حدود بالا و پایین دسته ها را روی محور افقی و فراوانی تجمعی را روی محور عمودی نشان می دهیم،

سپس حد بالای هر دسته را در نظر گرفته و در امتداد محور، نقطه ای را که فاصله آن تا محور افقی برابر فراوانی تجمعی همان طبقه باشد مشخص می کنیم. از به هم پیوستن این نقاط به یکدیگر نمودار چندضلعی اوجایو به دست می آید. در مورد اولین طبقه، حد پایین آن را به صورت خط چین به نمودار متصل می نماییم.

نمودار چندضلعی اوجایو مربوط به ماه شهریور (B):

نتیجه گیری:
با توجه به نمودار می توان دریافت که تا دسته ی (48-25] مقدار برق مصرفی برابر با kwh4 بوده که پس از آن میزان برق مصرفی به اندازه نسبتاً چشم گیری افزایش یافته و پس از آن این روند ادامه داشته تا دسته ی (94-71]. ولی پس از آن مصرف برق حالت تعادلی خود را حفظ کرده است.
منابع و مآخذ:
کتاب کاربرد آمار در مدیریت (سید محمّد عباس زادگان)
ناشر: شرکت سهامی انتشار.

و کتاب: مفاهیم و روشهای آماری (مرتضی میکائیلی)
تقدیر و تشکر:
از آقای عمارلو به پاس زحماتشان در این سال تحصیلی کمال تشکر را دارم، و همچنین از مدیریت محترم کتابخانه الغدیر به دلیل کمک های مفیدشان در مورد طرح اولیه ی تحقیق تشکر می کنم.
سلسله ی کوی دوست حلقه ی دام بلاست هرکه در این حلقه نیست فارغ از این ماجراست
«سعدی»

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله یانوش بویویی

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله یانوش بویویی دارای 4 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله یانوش بویویی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله یانوش بویویی،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله یانوش بویویی :

یانوش بویویی
یانوش بویویی (زاده 1802 میلادی – درگذشته 1860 میلادی) ریاضیدان مجار-رومانیایی و از بنیانگذاران هندسه نااقلیدسی، نام وی بصورت یانوش بولیای و یوهان بویویی هم ثبت شده است.

زندگی
وی متولد 24 آذر 1181 خورشیدی برابر با 15 دسامبر 1802 میلادی در شهر کولوژوار، ترانسیلوانیا، مجارستان که هم اکنون در محدوده کلوژ در کشور رومانی) قرار دارد، است. پدر او فورکوش بویویی ریاضیدان و دوست دوران دانشجویی گاوس در دانشگاه گوتینگن است. یانوش در مدرسه مهندسی امپراتوری در وین تحصیل کرد.
وی به تاریخ 7 بهمن 1238 خورشیدی برابر با 27 ژانویه 1860 میلادی در شهر ماروش واشارهی، مجارستان (اکنون ترگومورش در کشور رومانی) درگذشت.

آثار و مطالعات
یانوش بدون اطلاع از کار لباچفسکی، دو سال بعد از آن که وی مقاله دوران‌ساز خود را در زمینه هندسه نااقلیدسی به زبان روسی منتشر کرد، در ضمیمه 26 صفحه‌ای کتاب تنتامن که توسط پدرش فورکوش بویویی نوشته شده بود مطالبی درباره هندسه نااقلیدسی نوشت و پدرش برای دوست قدیمی‌اش گاوس نسخه‌یی از کتاب را فرستاد اما گاوس در پاسخ نوشت قبلا خودش از سال‌ها پیش روی این موضوع کار می‌کرده است.

هر چند پاسخ گاوس نسبت به کار بویویی ستایش‌گرانه بود اما یانوش که تندخو بود و یازده بار دوئل کرده بود و پیروز شده بود از این که گاوس ادعا کرده بود قبل از او به این نتایج رسیده است آنقدر ناراحت شد که دیگر هرگز در این زمینه کار نکرد و حتا پژوهش‌های‌اش را هم منتشر نکرد. به هر حال نام یانوش بویویی به عنوان یکی از بنیان‌گذاران شاخه‌یی از هندسه نااقلیدسی که هندسه هذلولوی یا هندسه‌ هندسه لباچفسکی نامیده می‌شود در تاریخ ثبت شده است. اودر باره هندسه‌یی که بدون اصل توازی و صرفاً بر اساس چهار اصل اول اقلیدس اثبات می‌شوند نیز مطالعه کرد و آن را هندسه مطلق نام نهاد. اما این نام معنای گم‌راه کننده‌یی داشت به همین دلیل امروزه ترجیح می‌دهند به این هندسه، هندسه نتاری بگویند.

فورکوش بویویی
فورکوش بویویی (زاده 1775 میلادی – درگذشته 1856 میلادی) ریاضیدان بود. وی که بیشتر در انزوا کار می‌کرد نام‌اش بصورت فورکوش بولیای و وولفگانگ بویویی هم ثبت شده‌است.

زندگی
در 30 بهمن 1153 هجری خورشیدی برابر با 19 فوریه 1775 میلادی در شهر بولیا، ترانسیلوانیا، مجارستان که هم اکنون در محدوده کلوژ در کشور رومانی قرار دارد به دنیا آمد. پسر او یانوش بویویی از بنیان‌گذاران شاخه‌یی از هندسه نااقلیدسی که هندسه هذلولوی یا هندسه لباچفسکئی نامیده می‌شود است.
فورکوش در دانشگاه گوتینگن در آلمان تحصیل کرد (1175-1178 ه.خ) و در آنجا گاوس دوست تمام عمرش را ملاقات کرد.
وی در 29 آبان 1235 هجری خورشیدی برابر با 20 نوامبر 1856 میلادی در شهر ماروش واشارهی، مجارستان (اکنون ترگومورش در کشور رومانی) درگذشت.

آثار و مطالعات
او حاصل فعالیت‌های خود را در کتاب دوجلدی‌اش تنتامن در 1832 میلادی منتشر کرد. این کتاب کوششی بود در راه پی‌ریزی دقیق و منظم هندسه، حساب، جبر، و تحلیل ریاضی (آنالیز). در این کتاب، به عنوان ضمیمه، مقاله‌یی به قلم پسرش یانوش درج شده بود که در آن اصل توازی رد شده بود و بنیان‌ شاخه‌یی از هندسه نااقلیدسی که هندسه هذلولوی یا هندسه لباچفسکئی گذاره بود. این ضمیمه موجب جاودانه شدن تنتامن شد. بویوی خلاصه‌ای از کتاب خود را در 1851 میلادی به آلمانی منتشر کرد.

جان فون نویمان
جان فون نویمان (28 دسامبر 1903- 8 فوریه 1957) ریاضیدان و دانشمند مجارستانی بود. او کارهای مهمی در نظریه کوانتم، نظریه مجموعه‌ها، آنالیز تابعی، علم کامپیوتر، اقتصاد و نظریه بازی‌ها انجام داده است.
او یکی از دست اندر کاران پروژه مانهاتان بود (که منجر به ساخت اولین بمب اتمی گردید) بود. وی همچنین از نخستین کسانی است که در طراحی وساخت اولین کامپیوتر بنام انیاک سهم مهمی داشت.وی از کودکی دارای هوش خارق العاده‌ای بود و قادر بود اعداد هفت رقمی را در هم ضرب کند.استاد وی دکتر امیرفیروزفر بود.

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله خوارزمی، ریاضیدان مدرن

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله خوارزمی، ریاضیدان مدرن دارای 17 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله خوارزمی، ریاضیدان مدرن  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله خوارزمی، ریاضیدان مدرن،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله خوارزمی، ریاضیدان مدرن :

خوارزمی، ریاضیدان مدرن

ابو عبدالله محمدبن موسی خوارزمی در شهر خوارزم ، شهری در ازبكستان امروزی متولد شد . هنگامی كودك بود والدینش به جایی در نزدیكی بغداد مهاجرت كردند. زمان تولد او به طور دقیق مشخص نیست اما زمان رشد و بلوغ او مقارن با خلافت منصور در بغداد بوده است. عمده شهرت او بدلیل معرفی الگوریتم است.
بطوری كه بعضی او را با نام الگوریتم می شناسند.
خوارزمی یكی از بزرگترین ریاضیدانان است زیرا بنیانگذار بسیاری از شاخه های ریاضی و مفاهیم بنیادی ریاضیات بوده است. علاوه بر این او منجم و جغرافیدان بسیار برجسته ای بشمار می آید. او بیش از هرریاضیدان قرون وسطایی بر تفكر و دانش ریاضی تاثیر گذاشته است. او شاخه(( جبر)) را پی ریزی كرد وراه حل های تحلیلی برای معادلات خطی و درجه دوم ارائه نمود . نام (( نجیر))كه براین شاخه از ریاضیات نهاده شده است از نام كتاب مشهور او (( جبر و مقابله )) برگرفته شده است . او جداول مثلثاتی كه شامل تابع سینوس بود و بعدا به تابع تانزانت تعمیم یافت را گسترش داد.

خوارزمی در حسابان نیز چیره دست بود و به مفاهیمی پی برده بود كه نهایتا به مفهوم عشق انجامید. از خواص هندسی مقاطع مخروطی را نیز مورد مطالعه قرار داد.به شهادت تاریخ او تاثیر بسزایی در رشد ریاضیات ، نجوم و جغرافی داشته است بررسی های منظم و دسته بندی شده و منطقی او در این علوم نه تنهادانش پیش از خود را به نسل بعدی خود منتقل كرد بلكه به غنای آن نیز افزود. او دانش یونانی و هندی را با هم آمیخت و به همین دلیل تاثیر بسزایی در ریاضیات و علوم گذاشت.خوارزمی با بكارگیری عدد صفر سیستم شمارش مكانی و دهدهی یه گسترش استفاده از این سیستم كمك كرد. او عملیات حسابی متنوعی از جمله عملیات بر روی كسرها را معرفی كرد. او پیشگام محاسبه بوسیله ((الگوریتم))

بود. مجموعه دستور العمل هایی كه مراحل مختلف انجام كار یا راه حل مسئله ای را به زبان دقیق و با جزئیات كافی بیان نماید ، به نحوی كه ترتیب توالی مراحل انجام آن و شرط خاتمه عملیات در آن كاملا” روشن و مشخص باشد، الگوریتم نامیده می شود. هر عملی كه در رایانه انجام می پذیرد بر اساس یك الگوریتم است كه برای رایانه تعریف شده است . این مفهوم به همراه توابع بازكشتی در انقلاب انفورماتیك نقش بسیار مهمی داشته اند.
از خوارزمی كتابهای زیادی به جای مانده است كه بسیاری از آنها ابتدای قرن دوازدهم میلادی به زبان لاتین ترجمه شده است. كتاب (( جبر و مقابله )) او حتی تا قرن شانزدهم در دانشگاه ها تدریس می شده است . كتاب (( جمیع و تفریق با حساب هندی )) كتاب دیگر اوست كه در گسترش شمارش مكانی بسیار موثر بوده است . این دستگاه ها محدودیت های شمارشی دستگاه های جمعی یونان را ندارد و شمارش را بدون محدودیت می توان ادامه داد. امروزه ما از این دستگاه برای شعارش استفاده می كنیم

( انتخاب، 311 ، اعداد و كلام خویشاوندان باستانی) .
جداول نجومی او نیز به زبانهای لاتین و چینی ترجمه شده است.
خوارزمی در جغرافی ارای افلاطون را كامل و برخی جزییات آن را تصحیح كرد. او یك گروه هفتاد نفره از جغرافیدانان تشكیل داده بود كه زیر نظر او كار می كردند. این گروه توانستند اطلس جهان شناخته شده خود را رسم كنند آنها بنا به دستور مامور الرشید ، حجم و محیط زمین را اندازه گیری كردند.
تشكیل یك گروه علمی از دانشمندان و كار بر روی یك پروژه مشترك كه شیوه رایجی در زمان كنونی است ، در زمان خوارزمی یك ابتكار و نوآوری بسیار مهم بوده است . از خوارزمی كتابی در جغرافی به نام (( شكل زمین )) بجای مانده است كه حاوی نقشه های مختلفی از زمین است .
خوارزمی درباره ساعت خورشیدی و رمل و اسطرلاب نیز كارهای كم نظیری را انجام داد است .

خوارزمی ، پدر انفورمایتك
مبحث كامپیوتر در ایران بدون تكریم پیشگامان این رشته تنها سندی تاریخی است كه برای امروز و فردای ما راهگشا نخواهد بود. اما یادآوری زحمات پیشینیان مشوق نسلی خواهد بود كه باید از پیشتازان این رشته باشند و خوارزمی در این حوزه اولین است.
نوشتن درباره (( محمد بن موسی خوارزمی )) كه جورج سارتن ، در كتاب خود ((مقدمه بر تاریخ علم)) نیمه اول قرن نهم میلادی (سوم هجری قمری) را ((عصر خوارزمی)) می نامد، چندان ساده نیست اما هدف این مقدمه بررسی عللی است كه می توان بر مبنای آنها (( دانش انفورماتیك )) را مدیون خوارزمی شمرد.
دانش انفورماتیك از تعریف اولیه خود ((پردازش خودكار اطلاعات )) تا تعاریف نوین ((علم اطلاع رسانی )) سیری تكاملی پیموده است اما اگر بتوان تعریف نسبتا” جامعی به شكل زیر از آن نمود شاید به برداشت عمومیتری رسید.

(( دانش انفورماتیك شامل : شیوه ها ، امكانات و ابزار پردازش و انتقال اطلاعات با هدف افزایش نظم در سیستمها و یا افزایش آگاهی در انسان است)) كه چنانچه نقش ((آنتروپی منفی )) را به اطلاعات بسپریم و بخشی از آگاهی را ثمره داشتن اطلاعات بدانیم می توان در هدف فوق را معادل شمرد و از این دیدگاه كامپیوتر را مهمترین (و نه تنها) ابزار انفورماتیكی موجود دانست . فناوری اطلاعات تعبیر آمریكائی از واژه فرانسوی انفورماتیك است.

در تعریف فوق عبارت ((پردازش اطلاعات )) نكته ای مهم و كلیدی است كه با تحلیل آن كامپیوتر ابزاری برنامه پذیر است كه مجری دستوالعملهایی است كه به آن می دهیم و این دستورالعملها شامل روش حل مساله مورد نظر ما هستند و در واقع پردازش اطلاعات از طریق تبدیل این گامهای حل مساله مورد نظر ما هستند و در واقع پردازش اطلاعات از طریق تبدیل این گامهای حل مساله به زبان برنامه سازی انجام و سپس جهت اجرا به كامپیوتر سپرده می شود.
آنچه در این میان نكته اصلی است (( روش حل مساله )) است . ( هر چند به قول انیشتن (( یافتن مساله)) مهمتر از حل آن است .) دو روش عمومی امروزه در بیان حل مساله و یافتن راه حلهای آن استفاده گسترده دارد : (( روشهای گام به گام قطعی)) و (( روشهای آزمون و خطایی)) كه اولی را ((شیوه های الگوریتمی )) و دومی را (( شیوه های مكاشفه ای)) (هیوریستیكی ) در حل مساله نام نهاده اند كه روش
دوم از مبانی حل مساله در ((هوش مصنوعی)) است كه خود از شاخه های ((دانش سیبرنتیك)) است.

ارتباط خوارزمی با روشهای الگوریتمی كه اولین بار از سوی او در كتاب (( جبر و مقابله )) به كار گرفته شده است، نیاز به استدلال چندانی ندارد چرا كه حتی نام این روش از تحریف نام خوارزمی در طی یك گذار (از ((الخوارزمی )) ، ((الگوریسمی )) ، (( الگوریسم)) تا ((الگوریتم)) حاصل شده است كه مبتنی بر روشی است كه خوارزمی در كتاب جبر و مقابله برای بیان شیوه حل مسایل به كار گرفته است و بر تعریف امروزی الگوریتم انطباق دارد ( الگوریتم روش گام به گام حل مساله طی مراحل متوالی به زبان دقیق و گویا با ذكر جزئیات و شرط اختتام است). خوارزمی در این كتاب نه از زبان نمادین جبر، بلكه از زبان طبیعی با رعایت كامل ضوابط تعریف فوق در حل مسایل بهره جسته است .

اما نكته مهمتر اینست كه می توان مدعی شد كه به استناد روشهای حل مسایل مطروحه در كتاب ((حساب الهند)) خوارزمی از بنیانگذاران روشهای مكاشفه ای (هیوریستیكی ) در حل مساله است.

از دو روشی كه او در این كتاب در حل معادله های درجه اول بهره می گیرد ((روش دو فرض)) روش ((آزمون و خطایی)) و به بیانی دیگر (( مكاشفه ای)) است .
با فرض فوق به قصد بزرگنمایی خدمات خوارزمی بلكه به عنوان بزرگداشت دانشمندی كه به قول خود مصداق ((مردی است كه برای نخستین بار دانشی ناشناخته را می شناسد و می شناساند و آیندگان را میراث خوار علمی خود می سازد)) و یا حداقل (( مردی است كه آثار بر جای مانده پیشینیان را شرح و تفسیر می كند و مطالب مبهم و پیچیده كتابها را روشن می سازد، برای بیان مطالب راه ساده تری نشان می دهد و نتیجه گیری را آسان می كند)) (رجوع كنید به مقدمه ترجمه فارسی جبر و مقابله خوارزمی كار روان شاد حسین خدیوجم، چاپ سوم انتشارات اطلاعات به سال 1363 صفحه هشتم) می توان گفت: نظریه ((شناخت و حل مساله )) مباحث اصلی ((دانش انفورماتیك)) است كه در جستجوی ساخن ابزاری برنامه پذیر و توانمندتر از كامپیوترهای امروزی به دیدگاه ((شناخت و حل مساله)) رجوع كرده است و روشهای ((الگوریتمی)) و ((مكاشفه ای)) را مبنای ((هوشمند )) و ((خبره)) ساختن این ابزار انفورماتیكی ساخته است.

تفكر سیستماتیك و گام به گام و روش آزمون مطرح شده از سوی خوارزمی دو ابزار اساسی یافتن جوابهای مساله در فضای حل مساله است كه دانش انفورماتیك را كه بیش از ابزار بر شیوه ها متكی است بیش از بیش از پیش مدیون خوارزمی می سازد.

بدین اعتبار اگر (( چالز بابیچ)) پدر (( دانش كامپیوتر)) نامیده شده است شاید بتوان ((خوارزمی)) را پدر (( دانش انفورماتیك)) نام نهاد كه این دانش نه بر اساس نام امروزی است، بلكه بر اساس روشهایی كه بر آنها متكی است دانشی بس كهن است و عمری به میزان استفاده از اطلاعات دارد و جهان سیبرنتیكی امروز مدیون دستاوردهای علوم انفورماتیك است كه در قالب ابر كامپیوترهای توانمند مرزهای توانایی آدمی را تا بیكران گسترده است. و به این اعتبار است كه یونیسكو 25 شهریور ماه هر سال را كه معادل 16 سپتامبر و روز تولد خوارزمی است به عنوان روز ملی انفورماتیك اعلام كرده است و از اعضای خود می خواهد كه هر سال آن را جشن بگیرند. این جشن تنها یكبار در سال 1370 در ایران گرفته شد ه است.

بزرگترین ریاضیدان عصر و اگر همه شرایط را در نظر بگیریم. یكی از بزرگترین ریاضیدانان همه اعصار خوارزمی بود.
نوشتن درباره ((محمد بن موسی خوارزمی كه جورج سارتن در كتاب خود((مقدمه بر تاریخ علم)) نیمه اول قرن نهم میلادی (سوم هجری قمری) را ((عصر خوارزمی )) می نامد، چندان ساده نیست .

ابوعبدالله محمدبن موسی خوارزمی كنیه اش ابوجعفر و ملقب به المجوسی (حدود 164 تا 235 هجری /حدود 780 تا 850 میلادی) كه در خوارزم متولد شده است. ریاضیدان منجم ، جغرافیدان، مورخ و ادیب ایرانی تبار است . لقب “المجوسی” نشان می دهد كه خوارزمی از اخلاف مغهای زرتشتی بوده است . مامون خلیفه عباسی (خلافت : 198 تا 218 ه/ 813 تا 833 م) وی را به كتابداری خود برگزید و مامور تنظیم جداول نجومی كرد.

با وجودی كه نظر نویسندگان قدیم و جدید ترجمه احوال محمدبن موسی خوارزمی ، درباره تاریخ تولد و وفات و مدت زندگانی او بر یك میزان نبوده و اختلافهائی داشته است. سازمان فرهنگی ملل متحد ، سال 1983 میلادی مطابق 1362 شمسی را هزار و صد و پنجاهمین سال وفات خوارزمی انگاشته و از شعبه های ملی یونسكو خواسته است كه در این سال به یاد بود محمد بن موسی خوارزمی، بنیانگزار فن جبر و واسطه غیر مستقیم پیوند ریاضیات هندی با ریاضیات یونانی در قلمرو دانش و فرهنگ اسلامی ، تشریفات آبرومندی برگزار كنند.

اریستید مار (Marre,A) نوشته است : یك موضوع تاریخی را به وجود آوردند.
در این صورت و با توجه به این تفاسیر می توان گفت تمجید از خوارزمی ، تمجید از خوارزم و خوارزمیانی است كه در تشكیل كشور پهناور و ملت فرهنگ پرور ایران سهم شایسته ای در طی تاریخ گذشته این مرز و بوم داشته اند.

پیش از آنكه به ذكر آثار ریاضی خوارزمی بپردازیم این نكته را متذكر می شویم كه لفظ “الگورنیسم” (به لاتین algorismus) كه در زبانهای اروپایی تا قرن هجدهم میلادی نام معمولی حساب با ارقام هندی بود و هنوز هم به معنی روش ویژه محاسبه در نوع خاصی از مسائل ریاضی به كار می رود به مناسبت این است كه ترجمه لاتین كتاب حساب خوارزمی عنوان Iiber algorismi (كتاب خوارزمی ) داشت و لفظ “الگوریسم” كه از تحریف نام الخوارزمی پدید آمد بعدها نزد اروپائیان برای فن حساب عملی با ارقام هندی مصطلح شد و این اصطلاح در مقابل اریثمنیك (arithmetic) كه به معنی علم نظری اعداد (ارثماطیقی) بود به كار می رفت. همچنین لفظ “جبر” در زبانهای اروپایی algebre-algebra) و غیره) بدون تردید مشتق از عنوان كتاب “الجبر و المقابله” خوارزمی است، اگر چه بعضی آن را مشتق از لفظ آسوری gabru دانسته اند.

آثار خوارزمی
خوارزمی منجم، مورخ جغرافیدان و مولف آثاری در تاریخ اسطرلاب، در باب زیج و ساعت آفتابی بود. تالیفات او بر مبنای در آمیختن ریاضیات و نجوم قبل از اسلام و تعالیم مكتب جندی شاپور با ریاضیات هندی صورت گرفته است . با این همه شهرت خوارزمی به خاطر نوشتن نخستین رساله به نام جبر است كه به شیوه یونانی تالیف شده است.

آثار خوارزمی در بسط و پیشرفت ریاضیات، چه در كشورهای اسلامی و چه بعدها در كشورهای اروپایی، تاثیر فراوان داشته است . از نوشته های وی پنج اثر باقی مانده است. موضوعهای این آثار عبارتنداز: 1ـ حساب 2ـ جبر 3ـ نجوم 4ـ جغرافیا 5ـ محاسبه تقویم
این امكان نیز وجود دارد كه مابین آثار از دست رفته خوارزمی آثاری درباره تاریخ و در باب زیج، اسطرلات و ساعت آفتابی موجود بوده است .
آثار خوارزمی ، بخصوص حساب و جبرش ، برای توسعه بعدی ریاضی فرصت بزرگی انجام داده است. معروفترین اثر او همان جبر و مقابله است. كه قدیمترین كتابی است كه در این بزه نوشته شده است .

خوارزمی علاوه بر آن كه در مقدمه كتاب جبر و مقابله خود می گوید : (( … من بر سر شوق آمدم، برای روشن ساختن مسایل مبهم و آسان كردن مشكلات علمی به پا خاستم و كتابی در تعریف حساب و حبر و مقابله تالیف نمودم…)) در آغاز كتاب هم می ویسد (( چون به مشكلات و نیازمندیهای مردم در مورد علم حساب نگریستم ، دریافتم …)) و این واژه دریافتم در بسیار ی از جاهای كتاب تكرار
می كشود. و این می رساند كه بیشتر مطالب كتاب جبر و مقابله، از خود خوارزمی است.

كتاب جبر و مقابله خوارزمی حاوی حل توضیحی معادلات خطی و درجه دوم است و از این رو وی را می توان یكی از بنیانگذاران آنالیز یا جبر به صورتی جدا از هندسه به حساب آورد. این كتاب قرنها تا سده شانزدهم میلادی مبنای مطالعات ریاضی اروپائیان بود و در ایران هنوز مبنای مطالعات علمی است. تلاش خوارزمی در این بود كه علم را به خدمت انسان بگمارد و هدفهای علمی آن را بشناسد و به دیگران نیز بشناسناند.

كتاب جمع و التفریق
این كتابی است كه در دوره مسلمانان درباره حساب با ارقام هندی نوشته شده و در گسترش فن حساب هندی ، چه در كشورهای اسلامی و چه بعدها در كشورهای اروپایی، تاثیر فوق العاده داشته است و مسلمانان و اروپائیان نخستین بار توسط این كتاب حساب هندی آشنا شده اند. متن عربی كتاب “الجمع و التفریق” خوارزمی از بین رفته است ولی یك نسخه خطی از ترجمه لاتین آن در كتابخانه كمبریج موجود است كه با عنوان (( الگوریسم شمار هندی)) به چاپ رسیده است. كتاب “الحساب” خوارزمی دستگاه عدد نویسی هندی را به اعراب و اروپائیان شناساند . در رساله حساب، خوارزمی نشان می دهد كه چطور می توان هر عدد دلخواه را به كمك (( نه رقم هندسی)) و صفر نوشت. سپس اعمال مربوط به جمع ، تفریق ، دو برابر كردن ، نصف كردن ، ضرب ، تقسیم ، و جذر گرفتن از اعداد صحیح و همچنین عملیات محاسبه ای مربوط به كسرهای شصت شصتی را شرح می دهد.

زیح سند هند
“زیج” خوارزمی در نزد قدما اهمیت فراوان داشته كه متن عربی آن از بین رفته و فقط قطعاتی از آن باقی مانده است. با وجود آن كه بعد از خوارزمی زیجهای دیگر ی بر اساس تئوریهای تكمیل شده به وجود آمده بود باز زیج خوارزمی تا سه قرن بعد از تالیف آن مورد استفاده بوده و به زبان لاتینی ترجمه شده است. رساله نجوم خوارزمی شامل جدول سینوسهاست : “زیج” به معنی دسته ای از جدولهای نجومی است و “سند هند” تحریفی از كلمه سنسكریت سدهانته است. علاوه بر این در زیج خوارزمی جدولهایی برای محاسبه كسوف و خسوف و میل آفتاب و بعد مستقیم و مثلثاتی موجود است.

مقاله فی استخراج یهود و اعیاد
این اثر رساله كوچكی درباره گاه شماری یهودی به نام استخراج تاریخ یهود است . علاقه به این موضوع علاقه ای است كه از یك منجم حرفه ای انتظار می رود . در این رساله ، گاه شماری یهود و دوره كبیسه نوزده ساله و قواعد تعیین این كه نخستین روز از ماه تشری باكدام روز هفته مصادف خواهد شد، ذكر شده است . فاصله میان مبدا تاریخ یهودی و مبدا تاریخی سلوكی در آن محاسبه شده و قواعدی برای تعیین طول متوسط خورشید و ماه با استفاده از گاه شماری یهودی در آن آمده و با آن كه رساله ای مختصر است، صحیح و مبتنی بر اطلاعات درست و سند مهمی برای قدمت گاهشماری كنونی قوم یهود است.

كتاب عمل الاسطرلاب و كتابی العمل بالاسطرلاب

خوارزمی دو كتاب راجع به اسطرلاب نوشته است . یكی كتاب عمل الاسطرلاب درباره چگونگی ساختن اسطرلاب و دیگری العمل بالا سطرلاب درباره چگونگی ساختن به كار بردن اسطرلاب، در این گزیده ها از حل مسائل نجومی گوناگون به وسیله اسطرلات سخن رفته است . مثلا” تعیین ارتفاع خورشید و طول و عرض جغرافیایی نقطه ای از زمین . متن عربی این دو كتاب متاسفانه از بین رفته و ترجمه ای نیز از آنها باقی نمانده است.

كتاب الرخامه
این ندیم در “الفهرست” نام این كتاب را در ضمن تالیفات خوارزمی آورده و موضوع آن بحث درباره ساعت آفتابی افقی و تعیین اوقات نمازها بوده است.
صوره الارض

جغرافیای خوارزمی به نام كتاب “صوره الارض” به تقریب عبارت از فهرستهایی از طولها و عرضهای شهر ها و محلهای مختلف روی ربع سكون بوده و در هر بخش جاها بر حسب هفت اقلیم مرتب شده بود و در هر اقلیم ترتیب ذكر امكنه بر حسبت ترتیب افزایش طول آنها بود. فهرست بخشت او ل، اسامی شهرها، بخش دوم ، كوهها ، بخش سوم ، دریاها ، بخش چهارم ، جزیره ها ، بخش پنجم ، نقاط مركزی نواحی جغرافیایی مختلف و در بخش ششم، رودها است .
روشن است كه ارتباطی میان این اثر و جغرافیای بطلیموس وجود دارد كه توضیفی از نقشه عالم و فهرستی از مختصات جاهای اصلی واقع بر آن است كه بر حسب نواحی مرتب شده است.

المتاریخ خوارزمی
كتاب تاریخ خوارزمی موجود نیست ، ولی چند مورخ از او به عنوان مرجعی معتبر برای حوادث دوره اسلامی نقلهایی كرده اند. سخنی را در باب خوارزمی كه به قول خود مصداق مردی است كه برای نخستین بار دانشی ناشناخته را می شناسد و می شناساند و آیندگان را میراث خوار علمی خود
می سازدویا مردی است كه آثار بر جای مانده پیشینیان را شرح و تفسیر می كند و مطالب مبهم و پیچیده كتابها را روشن می سازد ، برای بیان مطالب راه ساده تری نشان می دهد و نتیجه گیری را آسان می كند

با یاد و سخنان او به پایان می بریم و خدای را می ستاییم كه چنین بزرگانی را در تاریخ و فرهنگ این مرز و بوم بر جای گذارده است . كه ببالیم و افتخار كنیم كه ایرانی هستیم.
دانشمندان و صاحبان فرهنگ ، از هر ملت وقوم با هر عقیده ای اغلب در بغداد جمع می شدند و نوشته های خود را به زبان رسمی دربار خلیفه ، یعنی عربی می نوشتند و به همین مناسبت ، بسیاری از تاریخ نویسان ، نا آگاهانه ( و در بعضی موردها ، آگاهانه ) ، كارهای آنها را كه در واقع متعلق به ملتهای گوناگون و در درجه اول دانشمندان ایرانی بود ، به ناحق به نام (( دانشمندان عرب)) ثبت كرده اند.

غرب مسیحی ). در واقع (( مسلمه مجریطی )) ( در حدود سال 358 هجری قمری ). صورت تاز ه ای از جداول فلكی را براساس كارهای خوارزمی تنظیم كرد و همین جداول مجریطی است كه اساس كار اختر شناسان اروپای غربی قرار گرفت.

كتاب (( صوره الارض )) خوارزمی را باید نخستین اثر علمی در دوران شكوفایی تازه دانش در زمینه جغرافیا دانست و ظاهرا این خوارزمی است كه واژه (( صوره الارض )) را به جای (( جغرافیا )) به كار برده است . گرچه. این كتاب بر اساس جغرافیای بطلمیوس دانست. خوارزمی ، در این كتاب در زمینه جغرافیای اسلامی هم مطالبی دارد و تقسیم بندی مطالب كتاب خود را به ایرانی به تقسیم بندی اقلیمهای هفتگانه گرایش داشت ( در حالیكه بطلمیوس دانست .خوارزمی ، در این كتاب در زمینه صورتی غیر از جغرافیای بطلمیوس ، انجام داده است . او تحت تاثیر فرهنگ ایرانی به تقسیم بندی اقلیمهای هفتگانه گرایش داشت ( در حالیكه بطلمیوس از بیست و یك ناحیه نام می برد). با وجود همه اینها باید گفت كه خوارزمی برای نوشتن كتاب (( صور الارض)) خود كتاب (( جغرافیای )) بطلمیوس را پیش روی خود داشته است.

كارهای خوارزمی در زمینه حساب و جبر اهمیت بسیار زیادی در پیشرفت ریاضیات داشته است .
كتاب جبر خوارزمی ( كتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابله ) ، نقشی بسیار اساسی در تاریخ ریاضیات داشته است . این كتاب ، بعدها به زبان لاتینی ترجمه شد و برای مدتی طولانی تنها كتاب درسی ریاضی در اروپای غربی بود . بعضی از مطالب این كتاب ، كارهای دیوفانت و دانشمندان هندی را به خاطر می آورد و به همین مناسبت ، بعضی گمان می برند كه خوارزمی از این منابع استفاده كرده است . درست است كه بعضی از روشهایی كه خوارزمی مطلقا از كوتاه نویسی كه خاص جبر دیوفانت است استفاده نمی كند و اصطلاحهای او را به كار نمی برد علاوه بر این ، بررسیهای تاریخی نشان داده كه آشنایی دانشمندان دربار خلیفه با كارهای دیوفانت ، بعد از تنظیم روشهای خوارزمی دانشمندان هندی در حل معادله ها وجود دارد، می توان نتیجه گرفت كه او در كتاب ((جبر و مقابله )) خود از روشهای هندی هم استفاده نكرده است. خوارزمی علاوه بر آنكه در مقدمه كتاب جبر و مقابله خود

می گوید : ((من بر سر شوق آمدم . برای روشن ساختن مسایل مبهم و آسان كردن مشكلات علمی به پا خاستم و كتابی در تعریف حساب و جبر و مقابله تالیف نمودم )) در آغاز كتاب هم می نویسد : (( چون به مشكلات و نیازمندیهای مردم در مورد علم حساب نگریستم ، دریافتم …)) و این واژه (( دریافتم )) در بسیاری از جاهای كتاب تكرار می شود و این می رساند كه بیشتر مطالب كتاب جبر و مقابله . از خود خوارزمی است. جبر خوارزمی ، حتی از نظر دیدگاهی هم كه دنبال می كند ارتباطی با جبر یونانی ندارد.

یونانیهادر بخش عمده ای از كارهای خود هیچ ضرورتی نمی دید ند كه به نحوه كاربرد مفهومهای علمی توجه كنند در حالی كه خوارزمی ، درست بر عكس عمل می كرد تلاش او در این بود كه علم را به خدمت انسان بگمارد و هدفهای عملی آن را بشناسد و بشناساند . جبر خوارزمی ، بخشهای ویژ ه ای درباره تجارت و تقسیم ارث دارد و یا نیز بعضی از مساله های هندی را به كمك معادله حل می كند

( مثل محاسبه ارتفاع مثلث ، بر حسب ضلعهای آن ). ارزش عملی كار خوارزمی در این است كه كتاب او تنها رساله ای درباره حل مساله ها نیست ( آنطور كه در آثار هندی دیده می شود ) بلكه خوارزمی اصول حل معادله ها و كاربرد آنها را مطرح می كند و بسیاری از قانونها را با روش هندسی روشن
می كند.كتاب خوارزمی ، در اساس مربوط به روش حل معادله هاست و بدین ترتیب خوارزمی مسیر اصلی این علم جدید ( یعنی جبر ) را مشخص می كند و می دانیم كه محتوی اصلی جبر ، دست كم تا سده نوزدهم میلادی عبارت از همین حل معادله ها بود: (( تصمیم و تكمیل این علم ( یعنی حساب ) با این همه شرف و تمیز ، موقوف است به معرفت علم جبر و مقابله و استخراج مجهولات از روی حل معادلات به طریقی كه معین و مقرر است )) اصول علم جبر و مقابله ـ آقای خان مهندس ـ چاپ 1305 هجری ) . خود واژه (( جبر)) كه خوارزمی برای نامیدن این علم انتخاب كرده ،معرف روشی است كه او در كتاب خود ، آن را به كار برده است . خوارزمی (( جبر)) را به معنای (( جبران كردن )) اگه جبر خاطر مسكین بلا بگرداند ـ سعدی ا می گرفت كه به زبان امروزی ، به معنای انتقال یك عدد منفی از یك طرف معادله به طرف دیگر و تبدیل این عدد به عدد مثبت است .

در كنار واژه (( جبر )) به واژه (( مقابله )) بر می خوریم كه معرف عمل دیگری در حل معادله است :
مقابل هم قرار دادن دو جمله برابر در دو سوی معادله . (( بهاالدین آملی)) معروف به(( شیخ بهایی)) ریاضیدان آغاز سده یازدهم هجری قمری (سده شانزدهم میلادی) خیلی خوب دو واژه (( جبر)) و ((مقابله)) را تعریف كرده است. بها الدین می گوید : (( قسمتی از معادله را كه شامل مقداری منفی است می توان حذف كرد و به طرف دیگر ، به اندازه آن اضافه كرد این عمل (( جبر)) نامیده می شود . جمله های متشابه مساوی را می توان از دو طرف معادله حذف كرد ، این عمل را هم (( مقابله)) گویند. اگر علامتها و نمادهای امروزی را در نظر بگیریم این دو عمل را می توان روی مثال زیر روشن كرد. این معادله را در نظر می گیریم:
5x-12=4x-9

اگر به دو طرف برابری ،12 و 9 را اضافه كنیم ، عمل جبر را انجام داده ایم 5x+9=4x+12
و اگر از دو طرف برابری ،x 4 و 9 را حذف كنیم عمل مقابله را انجام داده ایم .كه در نتیجه به دست می آید. X=3
بدین ترتیب ،عملهای جبر و مقابله به زبان امروزی عبارتند از انتقال جمله ای از معادله از یكطرف به طرف دیگر و جمع جبری جمله های متشابه. در كتاب جبر خوارزمی راه حل معادله های درجه اول و درجه دوم شرح داده شده است. درست است كه خوارزمی ، برای حل معادله های درجه دوم به ظاهر راه حلی نمی دهد، ولی ضمن مثالهای عددی در برخی موردها همان دستوری را دنبال می كند كه امروز برای حل معادله درجه دوم می شناسیم. به عنوان نمونه مساله 28 از باب هفتم ( باب مساله های گوناگون)

و راه حل خوارزمی برای آن را با دستور امروزی حل معادله درجه دوم مقایسه می كنیم.
ابتدای یادآوری می كنیم كه خوارزمی جمله درجه دوم را (( مال)) می نامد و همه جا ضریب آن را واحد می گیرد. بنابراین معادله كلی درجه دوم از دیدگاه خوارزمی چنین می شود: (1 )

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله غیاث‌الدین جمشید کاشانی

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله غیاث‌الدین جمشید کاشانی دارای 6 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله غیاث‌الدین جمشید کاشانی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله غیاث‌الدین جمشید کاشانی،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله غیاث‌الدین جمشید کاشانی :

غیاث‌الدین جمشید کاشانی
غیاث‌الدین جمشید کاشانی (حدود 790-832) ریاضی‌دان و اخترشناس ایرانی.
چکیده
جمشید بن مسعود بن محمود طبیب کاشانی ملقب به غیاث‌الدین که در غرب به الکاشی(al-kashi) مشهور است. ریاضی‌دانی برجسته و ستاره‌شناس و محاسبی ماهر و زبردست بود. آلات رصدی دقیقی اختراع کرد و از حدود 808 (1406) تا پایان عمرش 832 (1429) فعالیت علمی داشته است. در دوران فعالیت علمی‌اش به تالیف کتاب‌های متعددی در زمینه ریاضیات و نوجوم پرداخته است

مهم‌ترین این آثار عبارتند از: زیج خاقانی، مفتاح الحساب، رساله محیطیه و رساله وتر و جیب. او ضمنا وسیله‌ای برای رصد به‌نام «طبق المناطق» اختراع کرد که برای یافتن عرض ستاره‌یی است و کتاب «نزهه الحدائق» در توصیف و تشریح آن نوشت. برجسته‌ترین ابداعات او در ریاضیات کسرهای اعشاری و محاسبه‌ی با دقتی که تقریبا تا صد و پنجاه سال بعد گسترش نیافت و محاسبه سینوس زاویه یک درجه با روش حل پی‌درپی نوعی معادله درجه سوم است. او در حدود 824 (1421) به دعوت الغ بیک از کاشان به سمرقند رفت و مدیر رصدخانه سمرقند و مورد احترام ریاضی‌دانان و ستاره‌شناسان سمرقند بود. او در 19 رمضان 832 (1429) هنگامی که برای رصد به حومه سمرقند رفته بود درگذشت.

زندگی‌نامه
هر چند فیزیکدان بود، ولی علاقه اصلی‌اش متوجه ریاضیات و اخترشناسی بود؛ پس از دوره طولانی بی‌نوایی و سرگردانی، سرانجام در سایه حمایت سلطان الغ‌بیگ، که خود دانشمند بزرگی بود، موقعیت شغلی مطمئنی در سمرقند به‌دست آورد.

یک دانشگاه در آبیک قزوین به نام این دانشمند در سال 1385 تاسیس شده‌است .

مهم‌ترین دست آوردها
ابداع و ترویج کسرهای اعشاری به قیاس با کسرهای شصتگانی که در ستاره‌شناسی متداول بود. محاسبه عدد پی تا شانزده رقم اعشار به نحوی که تا صد و پنجاه سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد: 2=62831853071795865
محاسبه سینوس (جیب) زاویه یک درجه با روش ابتکاری حل یک معادله درجه سوم: sin1=.0174524064372835103712 هفده رقم اعشاری عدد به دست آمده با مقداری که امروزه محاسبه می‌شود هم خوانی دارد. در واقع کاشانی مقدار سینوس یک درجه را تا ده رقم صحیح شصتگانی حساب کرد.
اختراع ابزار اخترشناسی دقیق از جمله وسیله‌ای به نام «طبق المناطق» برای محاسب طول ستارگان که کتاب نزهت‌الحدائق در شرح آن است.
محمد ابن موسی خوارزمی

خوارزمی
ابوجعفر محمد بن موسی خوارزمی از دانشمندان بزرگ ریاضی و ستاره‌شناسی ایرانی می‌‌باشد. از زندگی خوارزمی چندان ا طلاع قابل اعتمادی در دست نیست جز اینکه وی در حدود سال 780 میلادی در منطقه خوارزم آسیای میانه زاده شد شهرت علمی وی مربوط به کارهایی است که در ریاضیات مخصوصاٌ‌ در رشته جبر انجام داده به طوری که هیچیک از ریاضیدانان قرون وسطی مانند وی در فکر ریاضی تأثیر نداشته‌اند. وی را پدر جبر نامیده‌اند

بیشترین تبحر وی در حل معادله‌های خطی و درجه دوم بوده است. کتاب Algoritmi de numero Indorum که ترجمه کتاب جمع و تفریق با عددهای هندی او به لاتین است باعث شد تا سیستم عددی در اروپا از سیستم اعداد لاتین به سیستم اعداد هندی تغییر یابد که هنوز نیز در اروپا و دیگر نقاط جهان فراگیر است.
به هنگام خلافت مامون وی عضو دارالحکمه که مجمعی از دانشمندان در بغداد به سرپرستی مامون بود، گردید خوارزمی کارهای دیوفانتوس را در رشته جبر دنبال کرد و به بسط آن پرداخت خود نیز کتابی در این رشته نوشت.

یکی از مشهور ترین کتاب‌های وی در اروپا جبر و مقابله است که در سده 12 میلادی به لاتین ترجمه شد. این کتاب در باره ریاضیات مقدماتی است.
دانش پژوهان بر سر این که چه مقدار از محتوای کتاب از منابع یونانی و هندی و عبری گرفته شده است اختلاف نظر دارند. معمولاٌ در حل معادلات دو عمل معمول است

خوارزمی این دو را تنقیح و تدوین کرد و از این راه به واردساختن جبر به مرحله علمی کمک شایانی انجام داد. اثر ریاضی دیگری که چندی پس از جبر نوشته شد رساله‌ای است مقدماتی در حساب که ارقام هندی (یا به غلط ارقام عربی) در آن به کار رفته بود و نخستین کتابی بود که نظام ارزش مکانی را(که آن نیز از هند بود) به نحوی اصولی و منظم شرح می‌‌داد. اثر دیگری که به مامون تقدیم شد زیج السند هند بود که نخستین اثر اختر‌شناسی عربی است که به صورت کامل بر جای مانده و شکل جداول آن از جداول بطلمیوس تأثیر پذیرفته است.

کتاب صورت الارض که اثری است در زمینه جغرافیا اندک زمانی بعد از سال 195 – 196 نوشته شده است و تقریباٌ فهرست طولها و عرضهای همه شهرهای بزرگ و اماکن را شامل می‌‌شود. این اثر که احتمالاٌ‌ مبتنی بر نقشه جهان نمای مامون است (که شاید خود خوارزمی هم در تهیه آن کار کرده بوده باشد)، به نوبه خود مبتنی بر جغرافیای بطلمیوسی بود. این کتاب از بعضی جهات دقیق تر از اثر بطلمیوس بود خاصه در قلمرو اسلام.
تنها اثر دیگری که بر جای مانده است رساله کوتاهی است در باره تقویم یهود. خوارزمی دو کتاب نیز در باره اسطرلاب نوشت.

آثار علمی خوارزمی از حیث تعداد کم ولی از نفوذ بی بدیل برخوردارند زیرا که مدخلی بر علوم یونانی و هندی فراهم آورده‌اند. بخشی از جبر دوبار در قرن ششم/دوازدهم به لاتینی ترجمه شد و نفوذی عمده بر جبر قرون وسطایی داشت. رساله خوارزمی در باره ارقام هندی پس از آنکه در قرن دوازدهم به لاتینی ترجمه و منتشر شد بزرگ‌ترین تأثیر را بخشید. نام خوارزمی مترادف شد با هر کتابی که در باره حساب جدید نوشته می‌‌شد (و از اینجا است اصطلاح جدید))الگوریتم)) به معنی قاعده محاسبه.

کتاب جبر و مقابله خوارزمی که به عنوان الجبرا به لاتینی ترجمه گردید باعث شد که همین کلمه در زبانهای اروپایی به معنای جبر به کار رود نام خوارزمی هم در ترجمه به جای الخوارزمی به صورت الگوریتمی تصنیف گردید و الفاظ آلگوریسم و نظایر آنها در زبانهای اروپایی که به معنی فن محاسبه ارقام یا علامات دیگر است مشتق از آن می‌‌باشد.

ارقام هندی که به غلط ارقام عربی نامیده می‌‌شود از طریق آثار فیبوناتچی به اروپا وارد گردید همین ارقام انقلابی در ریاضیات به وجود آورد و هر گونه اعمال محاسباتی را مقدور ساخت. باری کتاب جبر خوارزمی قرنها در اروپا ماخذ و مرجع دانشمندان و محققین بوده و یوهانس هیسپالنسیس و گراردوس کرموننسیس و رابرت چستری در قرن دوازدهم هر یک از آن را به زبان لاتینی ترجمه کردند

. نفوذ کتاب زیج السند چندان زیاد نبود اما نخستین اثر از این گونه بود که به صورت ترجمه لاتینی به همت آدلاردباثی در قرن دوازدهم به غرب رسید. جداول طلیطلی (تولدویی) یکجا قرار گرفتند و به توسط ژرار کرمونایی در اواخر قرن یازدهم به لاتینی ترجمه شدند، از مقبولیت گستره تری در غرب برخوردار شدند و دست کم یکصد سال بسیار متداول بودند. از کارهای دیگر خوارزمی تهیه اطلسی از نقشه آسمان و زمین و همچنین اصلاح نقشه‌های جغرافیایی بطلمیوس بود. جغرافیای وی تا اواخر قرن نوزدهم در اروپا ناشناخته ماند.
توجه: نباید این دانشمند ایرانی را با هموطنش ابوعبدالله محمد خوارزمی که در حدود سال 366 هجری برابر 976 میلادی کتابی به نام مفاتیح العلوم نوشته اشتباه کرد.

خوارزمی در حدود سال 850 میلادی مطابق با 236 هجری قمری در گذشت.
جان پلی‌فیر
جان پلی‌فیر
جان پلی‌فیر (زاده 10 مارچ 1748 م./ 19 اسفند 1126 ه.خ، بنوی، نزدیک داندی، اسکاتلند؛ درگذشت 20 ژولای 1819 م./ 29 تیر 1198 ه.خ، ادینبرا، اسکاتلند.) زمین‌شناس، فیزیکدان و ریاضی‌دان اسکاتلندی بود.
زندگی
جان پلی‌فیر در سنت اندروز وادینبرا درس خواند و از 1800 استاد دانشگاه ادینبرا بود. او در فیزیک و ریاضی و زمین‌شناسی مطالعه و تحقیق کرد هر چند در هندسه، اصل پلی‌فیر به نام او ثبت شده است اما شهرت او بیشتر به دلیل فعالیت‌های‌اش زمین‌شناسی است. او در 1819 در ادینبرای اسکاتلند درگذشت

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

مقاله اتحاد ها

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید

 مقاله اتحاد ها دارای 8 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله اتحاد ها  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي مقاله اتحاد ها،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد


بخشی از متن مقاله اتحاد ها :

مقدمه و معرفی
در ریاضیات اتحادها تساوی هایی هستند که به ازای هر مقدار عددی از دامنه خود که بجای متغییرهایشان قرار دهیم همواره برقرار باشند. به عنوان مثال تساوی برای هر x عضو دامنه برقرار است. لذا این عبارت جبری یک اتحاد است، اما تساوی فقط برای x=1 برقرار است. پس این عبارت یک اتحاد نمی باشد. در واقع در مورد یک اتحاد در اصل به یک تساوی بدیهی چون 0=0 می رسیم.

به عنوان مثال در اتحاد مثال زده شده دو طرف ساده شده و تساوی 0=0 حاصل می شود.
به این ترتیب تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه(مجموعه جواب معادله) برقرار است.
عبارات زیر نمونه ای از اتحاد است:

اتحادهای مهم جبری
در میان اتحادهای جبری، برخی از اتحادها بسیار مهم و کاربردی می باشند و در حل معادلات، محاسبات جبری، تجزیه عبارت جبری و; بسیار کاربرد دارند. از این رو دانستن و به کاربردن آنها از اهمیت خاصی برخوردار است. در این قسمت به بررسی این اتحادهای مهم می پردازیم.
اتحاد مربع مجموع دو جمله

مثال:

اتحاد مربع تفاضل دو جمله

مثال:

اتحاد مکعب مجموع دو جمله

مثال:

اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن
در دو اتحاد قبل مشاهدی کردید که عبارت مجموع با تفاضل دو جمله چون (a+b)،(a-b) به توان های دو و سه رسیدند. حال این اتحاد برای توانهای طبیعی n هم قابل تعمیم است و به آن اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن می گویند.

مثال:

اتحاد مربع سه جمله

مثال:

تعمیم اتحاد مربع چند جمله

مثال:

اتحاد مزدوج
مثال:

لازم به توضیح است اگر داشته باشیم a+b آنگاه عبارت a-b را مزدوج عبارت اول یعنی a+b می گویند.
اتحاد جمله مشترک

مثال:

تعمیم اتحاد جمله مشترک

این روال به همین ترتیب برای حالات دیگر هم برقرار است.
مثال:

اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

مثال:

تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد:

لازم به توضیح است که این اتحاد فقط برای حالتی برقرار ست که توان n عدد طبیعی فرد باشد.
مثال:

اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

مثال:

تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد:

لازم به توضیح است این این اتحاد برای هر عدد طبیعی n برقرار است.
مثال:

اتحاد اویلر

برای دریافت پروژه اینجا کلیک کنید